微分流形上微分学—一流形上的张量场 谢锡麟 所以X(c)=0.故有 X(=X(op(a))=X(foo(rp)+X(hi(ar(a-p)) X(hi(e)(p-fp)+hi(ap)x((ar-tp)) X(-)-m(a)∈R 引入映照 anr(p):3f→ar()()aa(on)∈R 满足性质 1.线性性:对f,g∈6,有 ax(p)+9)=a(+9)°x)=ar(xn)+ar1(°(xp) 0 0 ax2(p)()+a(P)(9 2. Leibniz性:对vf,g∈,有 9(p(f9)=af9)°dp) dai (foo)(p)9op(rp)+foo(p)lari (goo)(tp) ax(p)0)·9(p)+f(p)a2(p)() 因此,∈TM.故有 a(f X()=x-()=X(p()=Xm(p)(0 可有VX∈TM的表达式 X=XPETpM, X: X((r-Tp) 12余切向量 定义1.2(余切向量).按泛函分析的观点,余切向量定义为切向量的对偶,余切向量空间 TM定义为切向量空间TnM的对偶空间,即6∈TM,有 e(X):TpM3X+(X)∈R 满足线性性Va,B∈R,VX,Y∈TM,有 e(ax+Br=oe(X)+Be(Y), 则∈TM称为余切向量.在余切向量空间TM上,引入如下线性结构 (a+B0)(X)=a6(X)+B6(X)∈R,VX∈ThnM,va,B∈R,v6,6∈T"M, 由此余切空间TM成为线性空间微分流形上微分学 微分流形上微分学 —— 流形上的张量场 谢锡麟 所以 X(c) = 0. 故有 X(f) = X(f ◦ ϕ(x)) = X(f ◦ ϕ(xp)) + X(hi(x)(x − xp) i ) = X(hi(x))(xp − xp) i + hi(xp)X((x − xp) i ) = X((x − xp) i ) ∂(f ◦ ϕ) ∂xi (xp) ∈ R. 引入映照 ∂ ∂xi (p) : C ∞ p ∋ f 7→ ∂ ∂xi (p)(f) , ∂ ∂xi (f ◦ ϕ)(xp) ∈ R, 满足性质: 1. 线性性: 对 ∀ f, g ∈ C ∞ p , 有 ∂ ∂xi (p)(f + g) = ∂ ∂xi (f + g) ◦ ϕ(xp) = ∂ ∂xi (f ◦ ϕ)(xp) + ∂ ∂xi (g ◦ ϕ)(xp) = ∂ ∂xi (p)(f) + ∂ ∂xi (p)(g); 2. Leibniz 性: 对 ∀ f, g ∈ C ∞ p , 有 ∂ ∂xi (p)(fg) = ∂ ∂xi (fg) ◦ ϕ(xp) = [ ∂ ∂xi (f ◦ ϕ)(xp) ] g ◦ ϕ(xp) + f ◦ ϕ(xp) [ ∂ ∂xi (g ◦ ϕ)(xp) ] = ∂ ∂xi (p)(f) · g(p) + f(p) · ∂ ∂xi (p)(g). 因此, ∂ ∂xi ∈ TpM. 故有 X(f) = Xi ∂(f ◦ ϕ) ∂xi (xp) = Xi ∂ ∂xi (p)(f) = [ Xi ∂ ∂xi (p) ] (f). 可有 ∀ X ∈ TpM 的表达式 X = Xi ∂ ∂xi (p) ∈ TpM, Xi := X((x − xp) i ). 1.2 余切向量 定义 1.2 (余切向量). 按泛函分析的观点, 余切向量定义为切向量的对偶, 余切向量空间 T ∗ p M 定义为切向量空间 TpM 的对偶空间, 即 ∀ θ ∈ T ∗ p M, 有 θ(X) : TpM ∋ X 7→ θ(X) ∈ R, 满足线性性 ∀ α, β ∈ R, ∀ X,Y ∈ TpM, 有 θ(αX + βY ) = αθ(X) + βθ(Y ), 则 θ ∈ T ∗ p M 称为余切向量. 在余切向量空间 T ∗ p M 上, 引入如下线性结构: (αθ˜ + βθˆ)(X) = αθ˜(X) + βθˆ(X) ∈ R , ∀ X ∈ TpM, ∀ α, β ∈ R, ∀ θ˜, θˆ ∈ T ∗ p M, 由此余切空间 T ∗ p M 成为线性空间. 2