定理4设a1=(an1,an2,…,amn),i=1,2,…,m A 21a22 (1)a1,a2,…,an线性相关兮 ranka<m; (2)a1,a2,…,an线性无关分 rankA=m, 证设 k2a,+…+kna 比较等式两端向量的对应分量可得 au a k1 12a2 k 0 aIn a2n 即A'x=0.由定理3.5可得: a1,a2,…,an线性相关台A2x=0有非零解 φ ranka< me rankA<m 推论1在定理4中,当m=n时,有 (1)a1,a2,…,an线性相关edet4=0; (2)a1,a2,…,an线性无关分det4≠0 推论2在定理4中,当m<n时,有 (1)a1,a2,…,an线性相关分A中所有的m阶子式Dn=0; (2)a1,a2,…,an线性无关分A中至少有一个m阶子式Dn≠0 推论3在定理4中,当m>n时,必有a1,a2,…an线性相关 因为 rankA≤n<m,由定理4(1)即得.8 定理 4 设  i = (ai1 ,ai2 ,  ,ain ), i = 1,2,  ,m             = m A     2 1             = m m mn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 (1)    m , , , 1 2  线性相关 rankA  m ； (2)    m , , , 1 2  线性无关 rankA = m ． 证 设 k11 + k2 2 ++ km m =  比较等式两端向量的对应分量可得             =                         0 0 0 2 1 1 2 12 22 2 11 21 1         n n mn m m m k k k a a a a a a a a a 即 0 T A x = ．由定理 3.5 可得：    m , , , 1 2  线性相关 0 T  A x = 有非零解  A  m T rank  rankA  m 推论 1 在定理 4 中, 当 m = n 时, 有 (1)    n , , , 1 2  线性相关  detA = 0 ； (2)    n , , , 1 2  线性无关  detA  0． 推论 2 在定理 4 中, 当 m  n 时, 有 (1)    m , , , 1 2  线性相关  A 中所有的 m 阶子式 Dm = 0 ； (2)    m , , , 1 2  线性无关  A 中至少有一个 m 阶子式 Dm  0 ． 推论 3 在定理 4 中, 当 m  n 时, 必有    m , , , 1 2  线性相关． 因为 rankA  n  m, 由定理 4(1)即得．