不同,以及t=0 我们再研究泛函S]=「L(q)的变分,这应该是q的形式改变引起S的变化 (函数L的形式不变)。因此 6s以]=「"L(q,9)d=S{q+6d-S[ =L(q++69,)d-L(q4)=oL(q,9.)dm (至此得到,在等时变分的条件下(Ot=0),与「d可以交换次序。我们继续计算:) aL OL aL satos t8q dt d(aL d aL 8q+aqdr qa q q aL aL Sgdt dr(aq)aq (4)泛函的极值 力学中常见的泛函为:F)=/(4)(最速落径问题,费马原理中遇到的泛函也 类似)。我们已经得到 f aq aq 由于Oq()=0q(1)=0,积分上下限n,1任意选定,δq是任意的(<1<41)所以 6F=0等价于49-9=0,称为Eu方程(174) dt aq aq 5)易见, Euler方程和拉格朗日方程实质上是一样的,因此,拉格朗日方程的理论,例如运动 积分,循环积分等都可以运用到这里来。例如最速落径问题的T=f(yy,x)女中,∫不 显含x,所以有“类能量积分”y,-f=C整理得(n-y)(1+y2)=C 令y=cotO则有y=y1-C1sin2进一步,d==-2C1sin2OdO于是得 )+C2 y=y-2 (1-cos20) (6)等时变分与虚位移是从不同角度引入的概念,我们采用了同样的符号d5 不同，以及 t = 0。 我们再研究泛函 Sq L(q q t)dt t t = 1 0 , , 的变分，这应该是 q 的形式改变引起 S 的变化 （函数 L 的形式不变）。因此   ( )     ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 0 0 0 , , , , , , , , t t t t t t t t S q L q q t dt S q q S q L q q q q t dt L q q t dt L q q t dt       = = + − = + + − =     （至此得到，在等时变分的条件下（ t = 0 ），  与 dt  可以交换次序。我们继续计算：） 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 t t t t t t t t t t L L L L d L d L d L q q dt q q dt q q q dt q q q q dt q dt q dt q L d L L q qdt q dt q q                           = + = + = + −                                   = − −                （4） 泛函的极值 力学中常见的泛函为：  ( ) ( )  = 1 0 , , t t F q t f q q t dt （最速落径问题，费马原理中遇到的泛函也 类似）。我们已经得到          −          −   = 1 0 1 0 t t t t qdt q f q f dt d q q f F     由于   q t q t ( 0 1 ) = = ( ) 0 ，积分上下限 0 1 t t , 任意选定，  q 是任意的（ 0 1 t t t   ）所以  F = 0 等价于 = 0   −   q f q f dt d  ， 称为 Euler 方程（1744）。 (5) 易见， Euler 方程和拉格朗日方程实质上是一样的，因此，拉格朗日方程的理论，例如运动 积分，循环积分等都可以运用到这里来。例如最速落径问题的 ( ) 2 1 , , x x T f y y x dx =   中， f 不 显含 x ，所以有“类能量积分” f y f C y   − =   整理得 ( )( ) 2 1 1 y y y C − + = 1  令 y  = cot 则有 2 1 1 y y C = − sin  进一步， 2 1 2 sin dy dx C d y = = −    于是得 ( ) ( ) 1 2 1 1 2 sin 2 2 1 cos 2 2 C x C C y y     = − − +    = − −  （6） 等时变分与虚位移是从不同角度引入的概念，我们采用了同样的符号 