《分析力学》课程教学资源（电子教案）第五章 哈密顿原理

第五章哈密顿原理 5.1.变分问题的欧拉方程: 力学第一性原理(力学最高原理):可由它导出全部力学定律的原理或者假设。(好 比几何学中的公理) 什么原理可以作为力学第一性原理? ·牛顿运动定律 ·达朗伯原理F+FN-m万=0(=12…n) 动力学虚位移原理(是一种微分变分原理,或称动力学虚位移原理或称动力学普 遍方程,在本教材又称达朗贝尔方程:在静力学情况下是虚位移原理,或称虚功 原理。) Lagrange方程 正则方程 以上原理中的任何一者都可以,因为它们是相互等价的。 在本章介绍另外一类力学第一性原理——力学的积分变分原理 2.物理学中的变分原理举例 ①求单摆的平衡位置: 平衡位置应满足平衡方程 Tcos0=0 ITsin 0=0 求得平衡位置:O=0(T=n ⅱi利用虚位移原理 mg x= I cose→- mglsin 660=0 mglsin a=0 6=0 ii利用势能=-mgx=- mgl cos最小这个条件,o= mgl sin 650=0 或者 00 mgl sin=0得到O=0 方法i是找出满足平衡条件的态(着眼于一个单独的态):方法ⅲ是将真实平衡位置与无 限接近它的邻近位置比较,平衡位置将使动力学函数(势能)达到极值(逗留值)S=0 方法ⅱ也相似,但虚位移原理∑F=0不要求左边成为恰当变分,适用范围更广些 方法ⅱ和ⅲ均系利用变分原理(微分变分原理)求解 最速落径问题( The brachistochrone problem) 从静止出发,在重力作用下,沿光滑轨道由A(x1, (XuYu) y1)滑到B(x2,0),问沿怎样的轨道y=f(x)所 用x-"m=最短 O(x,.0) B(x2,0)

1 第五章 哈密顿原理 5．1．变分问题的欧拉方程： 1．力学第一性原理（力学最高原理）：可由它导出全部力学定律的原理或者假设。（好 比几何学中的公理） 什么原理可以作为力学第一性原理? • 牛顿运动定律 ⚫ 达朗伯原理 0 F F m r i Ni i i + − = (i n =1,2, , ) ⚫ 动力学虚位移原理（是一种微分变分原理，或称动力学虚位移原理或称动力学普 遍方程，在本教材又称达朗贝尔方程；在静力学情况下是虚位移原理，或称虚功 原理。） ⚫ Lagrange 方程 ⚫ 正则方程 以上原理中的任何一者都可以，因为它们是相互等价的。 在本章介绍另外一类力学第一性原理——力学的积分变分原理。 2．物理学中的变分原理举例 ○1 求单摆的平衡位置： i 平衡位置应满足平衡方程    = − = sin 0 cos 0   T mg T 求得平衡位置：  = 0 (T mg = ) ii 利用虚位移原理 0 sin 0 cos sin 0 0 = − = =  − = =      mgl x l mgl mg x ⅲ 利用势能 V = −mgx = −mgl cos 最小这个条件， V = mglsin  = 0 或者 = sin = 0     mgl V 得到  = 0。 方法ⅰ是找出满足平衡条件的态（着眼于一个单独的态）；方法ⅲ是将真实平衡位置与无 限接近它的邻近位置比较，平衡位置将使动力学函数（势能）达到极值（逗留值） V = 0 ； 方法ⅱ也相似，但虚位移原理   = 0 i i i F r    不要求左边成为恰当变分，适用范围更广些。 方法ⅱ和ⅲ均系利用变分原理（微分变分原理）求解。 ○2 最速落径问题（The brachistochrone problem） 从静止出发，在重力作用下，沿光滑轨道由 A（x1， y1）滑到 B（x2，0），问沿怎样的轨道 y＝f(x)所 用时间   = = ( ) ( ) ( ) ( ) B A B A v ds T dt 最短。 mg T θ x y O x B(x2, 0) A(x1, y1) y O (x1, 0)

r=√2g(-y),d=+[r(x gly T不能是x的函数,因为它是上下限确定的对x的定积分。T也不能是y的函数,因为如 果T是y的“函数”,而y是x的函数,那么T就是x的复合函数,这显然也不对。上式 应记为T=T]=T[f(x)]=[/门,不代表x与T之间的对应关系,而是函数关系∫ (即x与y的对应关系)与T之间的对应关系。也就是无限多个函数值f(x)与T之间的 对应关系,即无限多个自变量f(x)的多元函数7,我们称T为y的泛函。把f(x)的宗量 x记成别的字母,例如u,也不会改变T的值,在不会引起混淆时也可以略去不记,即 T=T[(x)]=T[(a)]=T[/门。上式中另外几个量:x,x,y对这个泛函的定义 是不可缺少的,也是不可随意改用别的字母来记。最速落径问题就是要求出使泛函T取极 小值的函数fx)也就是函数几(x)的无限多个值] ③费马原理( Fermat Principle) 在介质内(一般可以不均匀),光从一点到另一点是沿光程取极值(极大、极小或者常数) 的路径传播的。(极端光程原理)或者说,是取所需时间为极值的路径传播的。(时间极值 原理)光程是传播路程l与折射率n的乘积nl,非均匀介质中为|ndl是路径函数的泛 (A) 函。传播时间是dt 与光程nd成正比。均匀介质内光的直线传播定律 光的反射定律、光的折射定律都是费马原理的实例。 3.有关泛函的初步知识: (1)我们把泛函Fq)与有限个自变量的多元函数f(x1…xn)作一对比。(为简 单起见,限于实数范围内) F[q() fx1…xn) 自变量∞个实数值q,∞维空间H(函数空n个实数x,n维空间R的点 间)的点 t0≤t≤l1,t连续, k=1,2,…n,k分立,有限个 因变量 F[q(1)]∈R(实数) f(x…xn)∈R(实数) 映射 H R "R 极值(逗留 当q(n)=q(1),Fq(=F极值 x 值) fx…xn)极值 极值条件 F=0 d=0 例线性泛函F)=c(m 线性函数 f(x1x2…xn)=∑C4x 2

2 v = g(y − y) 2 1 ， ds f (x) dx 2 = 1+  ( )  − +  = 2 1 1 2 2 x 1 x dx g y y y T T 不能是 x 的函数，因为它是上下限确定的对 x 的定积分。T 也不能是 y 的函数，因为如 果 T 是 y 的“函数”，而 y 是 x 的函数，那么 T 就是 x 的复合函数，这显然也不对。上式 应记为 T T y T f x T f = = =     ( )     ，不代表 x 与 T 之间的对应关系，而是函数关系 f （即 x 与 y 的对应关系）与 T 之间的对应关系。也就是无限多个函数值 f x( ) 与 T 之间的 对应关系，即无限多个自变量 f x( ) 的多元函数 T ,我们称 T 为 y 的泛函。把 f x( ) 的宗量 x 记成别的字母，例如 u，也不会改变 T 的值，在不会引起混淆时也可以略去不记，即 T T f x = =   ( )   T f u T f   ( ) =     。上式中另外几个量：x1，x2，y1 对这个泛函的定义 是不可缺少的，也是不可随意改用别的字母来记。最速落径问题就是要求出使泛函 T 取极 小值的函数 f(x)[也就是函数 f(x)的无限多个值]。 ○3 费马原理（Fermat Principle） 在介质内（一般可以不均匀），光从一点到另一点是沿光程取极值（极大、极小或者常数） 的路径传播的。（极端光程原理）或者说，是取所需时间为极值的路径传播的。（时间极值 原理）光程是传播路程 l 与折射率 n 的乘积 nl ，非均匀介质中为  ( ) ( ) B A ndl 是路径函数的泛 函。传播时间是 / dl dl ndl dt v c n c = = = 与光程 ndl 成正比。均匀介质内光的直线传播定律、 光的反射定律、光的折射定律都是费马原理的实例。 3． 有关泛函的初步知识： （1） 我们把泛函 F[q(t)]与有限个自变量的多元函数 f(x1…xn)作一对比。（为简 单起见，限于实数范围内） F[q(t)] f(x1…xn) 自变量 ∞个实数值 q(t)，∞维空间 H（函数空 间）的点 0 1 t t t t   , 连续，  个 n 个实数 xk，n 维空间 R n 的点 k n = 1, 2, , k 分立，有限个 因变量 F[q(t)]∈R（实数） f(x1…xn)  R （实数） 映射 H R ⎯⎯F→ R R n ⎯⎯f → 极值（逗留 值） 当 q(t)=qe(t)，F[q(t)]=Fe极值 当(x1, x2, …, xn)=(x1e, x2e, …, xne)， f(x1…xn)=fe极值 极值条件 δF＝0 df＝0 例 线性泛函  ( ) ( ) ( )  = 1 0 t t F q t C t q t dt 线性函数 ( ) = = n k n k k f x x x C x 1 1 2 , 

(2)等时变分和微分 (为了叙述方便,我们只考虑一个自由度的情形。推广到多个自由度的情形并不困难,请 同学们自行完成。) 在力学中我们经常运用的是自变量为t的函数q(t),训)等等。我们曾研究,随t的变化 引起的q的变化,在无限小情况下,用微分表示cq=qdt,我们现在要研究的,不是由 于t的变化,而是由于函数形式的微小改变引起的对应于同一个t的q()的值的变化,称 为变分,函数q(的变分()=列()-q)(即列)=q+(),q(,q(,代表 两个相近的运动规律,q()是同一时刻t的可与q的差。既然如此,自然有t=0。这 种变分称为等时变分。作为泛函的自变量的函数q(),其改变量应相当于δq而不是d 说明:从另一个角度来理解O=0。函数空间的一个确定的函数f()相当于一维空间的 个确定的数(常数)C;确定的函数的变分相当于确定的数的微分。既然dC=0是理 所当然的,6f()=0也就不难理解了。我们把看成一个确定的函数f()=t,bt=0 也就是顺理成章的了。 例 dq=atdr ()=(a+)2,oq()=q()-q()=72 例2.q()=1 d q (0)=2a“,=2a(-1)=2 ar" aInt满足6()=()=0 Bl 3. q(0)=Asinot, dq=oAcosotdt ()=(4+090,g=645mm满足y()(0 以上是某个参数引起的dq的几个实例;其实δq的形式是非常普遍的,并不限于某个或 某些参数的改变所引起 d (3)6与d,以及d的运算次序

3 （2）等时变分和微分 （为了叙述方便，我们只考虑一个自由度的情形。推广到多个自由度的情形并不困难，请 同学们自行完成。） 在力学中我们经常运用的是自变量为 t 的函数 q t( ), q (t) 等等。我们曾研究，随 t 的变化 引起的 q 的变化，在无限小情况下，用微分表示 dq = q dt ，我们现在要研究的，不是由 于 t 的变化，而是由于函数形式的微小改变引起的对应于同一个 t 的 q t( ) 的值的变化，称 为变分，函数 q(t)的变分 q(t) = q(t)− q(t) （即 q(t) = q(t)+q(t) ）， q(t)，q t( ), 代表 两个相近的运动规律，  q t( ) 是同一时刻 t 的 q 与 q 的差。既然如此，自然有 t = 0 。这 种变分称为等时变分。作为泛函的自变量的函数 q t( ) ，其改变量应相当于  q 而不是 dq 。 说明：从另一个角度来理解 t = 0 。函数空间的一个确定的函数 f t( ) 相当于一维空间的 一个确定的数（常数） C ；确定的函数的变分相当于确定的数的微分。既然 dC = 0 是理 所当然的，  f t( ) = 0 也就不难理解了。我们把 t 看成一个确定的函数 f t t ( ) = ，t = 0 也就是顺理成章的了。 例 1． ( ) 1 2 2 q t at = ， dq atdt = ( ) ( ) 1 2 2 q t a t = +  ， ( ) ( ) ( ) 1 2 2   q t q t q t t = − = 例 2． ( ) 1 2 q t at = ， 1 2 dq at dt  − = ( ) 1 2 q t at  + = ， ( ) 1 1 1 ln 2 2 q at t at t      = −   满足   q q (0 1 0 ) = = ( ) 例 3． q t A t ( ) = sin ， dq A t dt =    cos q t A A t ( ) = + (   )sin ，    q A t = sin 满足 q q (0 0 )       = =     以上是某个参数引起的  q 的几个实例；其实  q 的形式是非常普遍的，并不限于某个或 某些参数的改变所引起。 （3）δ与 d， dt d 以及 dt  的运算次序

考虑在t≤t≤t1的两条曲线(代表两个运动 规律,有时称之为轨道,其实和我们原有 的轨道概念是不同的。)q(t)(真实运动的位 q(t)+8 q(t) 置)和列(=q()+v)(邻近运动中无 限接近的为约束所允许的位置),起点和终 q(t+dtq(tp+dq(t) 点位置相同,q()=可(n),q1)=q(1) 即q(0)=6q(1)=0。(这个要求是下面讨 论哈密顿原理所要求的。思考:上面的例 题中,如何选取0和1才能满足这个要求?)考虑两曲线上的四个点M,N,M,N分 别对应于q(0),q(t+d),q()=q()+q()和可(t+dn)=q(t+d)+oq(t+d)。 我们用两种不同方法计算可(+dn) ●M→N→N (t+d)=q(1+dm)+aq(+d),q(t+d)=q(1)+dq() q()+dq()+6q(t)+6q( ●M→M→N (t+d)=q()+l(t), q()=q()+oq() =q()+oq()+q()+doq() 比较得od()=dq()即:在等时变分6=0的条件下,δ和d可以交换次序。 6=6()=()-dn(d) 6(d)d(q) dt dt dt 所以8和可交换次序。(在证明过程中用到了(dn)=d(o)=0) 我们进一步研究复合函数=f(q(),)在某一瞬时t,由于函数形式的变化引起q 的变化,q的变化引起的变化,不考虑∫的形式的改变即q()是函数空间的变点,而 ∫是确定的函数关系,这称为l的变分on=f(q()+(,)-f(q(),),所以 ,M(在多个q情况下表为=∑n。)。在此情况下,微分的运算 +gd与变分运算是很相似的但应注意,0=列()-0)与=d aq

4 考虑在 t0≤t≤t1 的两条曲线（代表两个运动 规律，有时称之为轨道，其实和我们原有 的轨道概念是不同的。）q(t)（真实运动的位 置）和 q(t) = q(t)+q(t) （邻近运动中无 限接近的为约束所允许的位置），起点和终 点位置相同， ( ) ( ) 0 0 q t = q t ， ( ) ( ) 1 1 q t = q t 。 即δq(t0)＝δq(t1)＝0。（这个要求是下面讨 论哈密顿原理所要求的。思考：上面的例 题中，如何选取 0 t 和 1 t 才能满足这个要求？）考虑两曲线上的四个点 M，N， M ，N 分 别对应于 q t( ) ，q t dt ( + ) ，q t q t q t ( ) = + ( )  ( ) 和 q t dt q t dt q t dt ( + = + + + ) ( )  ( ) 。 我们用两种不同方法计算 q(t + dt)。 ⚫ M→N→ N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q t dt q t dt q t dt q t dt q t dq t , ( ) q t dq t q t dq t    + = + + + + = + = + + + ⚫ M→ M → N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q t dt q t dq t q t q t q t , q t q t dq t d q t    + = + = + = + + + 比较得   dq t d q t ( ) = ( ) 即：在等时变分 t = 0 的条件下，  和 d 可以交换次序。 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 dq d dq dt dq dt dq d q q q dt dt dt dt dt          − = = = = =     所以δ和 dt d 可交换次序。（在证明过程中用到了   (dt d t ) = = ( ) 0 ） 我们进一步研究复合函数 u f q t t = ( ( ), ) 在某一瞬时 t ，由于函数形式的变化引起 q 的变化， q 的变化引起 u 的变化，不考虑 f 的形式的改变(即 q t( ) 是函数空间的变点，而 f 是确定的函数关系)，这称为 u 的变分   u f q t q t t f q t t = + − ( ( ) ( ), , ) ( ( ) ) ，所以 f u q q    =  （在多个 q 情况下表为 f u q q       =   ）。在此情况下，微分的运算 f f du dq dt q t     = +       与变分运算是很相似的。但应注意， q(t) = q(t)− q(t) 与 dq = q dt t q(t) q q(t+dt)=q(t)+dq(t) q(t)+δq(t) t0 t1 MM N N

不同,以及t=0 我们再研究泛函S]=「L(q)的变分,这应该是q的形式改变引起S的变化 (函数L的形式不变)。因此 6s以]=「"L(q,9)d=S{q+6d-S[ =L(q++69,)d-L(q4)=oL(q,9.)dm (至此得到,在等时变分的条件下(Ot=0),与「d可以交换次序。我们继续计算:) aL OL aL satos t8q dt d(aL d aL 8q+aqdr qa q q aL aL Sgdt dr(aq)aq (4)泛函的极值 力学中常见的泛函为:F)=/(4)(最速落径问题,费马原理中遇到的泛函也 类似)。我们已经得到 f aq aq 由于Oq()=0q(1)=0,积分上下限n,1任意选定,δq是任意的(<1<41)所以 6F=0等价于49-9=0,称为Eu方程(174) dt aq aq 5)易见, Euler方程和拉格朗日方程实质上是一样的,因此,拉格朗日方程的理论,例如运动 积分,循环积分等都可以运用到这里来。例如最速落径问题的T=f(yy,x)女中,∫不 显含x,所以有“类能量积分”y,-f=C整理得(n-y)(1+y2)=C 令y=cotO则有y=y1-C1sin2进一步,d==-2C1sin2OdO于是得 )+C2 y=y-2 (1-cos20) (6)等时变分与虚位移是从不同角度引入的概念,我们采用了同样的符号d

5 不同，以及 t = 0。 我们再研究泛函 Sq L(q q t)dt t t = 1 0 , , 的变分，这应该是 q 的形式改变引起 S 的变化 （函数 L 的形式不变）。因此   ( )     ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 0 0 0 , , , , , , , , t t t t t t t t S q L q q t dt S q q S q L q q q q t dt L q q t dt L q q t dt       = = + − = + + − =     （至此得到，在等时变分的条件下（ t = 0 ），  与 dt  可以交换次序。我们继续计算：） 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 t t t t t t t t t t L L L L d L d L d L q q dt q q dt q q q dt q q q q dt q dt q dt q L d L L q qdt q dt q q                           = + = + = + −                                   = − −                （4） 泛函的极值 力学中常见的泛函为：  ( ) ( )  = 1 0 , , t t F q t f q q t dt （最速落径问题，费马原理中遇到的泛函也 类似）。我们已经得到          −          −   = 1 0 1 0 t t t t qdt q f q f dt d q q f F     由于   q t q t ( 0 1 ) = = ( ) 0 ，积分上下限 0 1 t t , 任意选定，  q 是任意的（ 0 1 t t t   ）所以  F = 0 等价于 = 0   −   q f q f dt d  ， 称为 Euler 方程（1744）。 (5) 易见， Euler 方程和拉格朗日方程实质上是一样的，因此，拉格朗日方程的理论，例如运动 积分，循环积分等都可以运用到这里来。例如最速落径问题的 ( ) 2 1 , , x x T f y y x dx =   中， f 不 显含 x ，所以有“类能量积分” f y f C y   − =   整理得 ( )( ) 2 1 1 y y y C − + = 1  令 y  = cot 则有 2 1 1 y y C = − sin  进一步， 2 1 2 sin dy dx C d y = = −    于是得 ( ) ( ) 1 2 1 1 2 sin 2 2 1 cos 2 2 C x C C y y     = − − +    = − −  （6） 等时变分与虚位移是从不同角度引入的概念，我们采用了同样的符号 

a)等时变分,要求61=0。虚位移指同一时刻t的假想的无限小位移,所以也有δr=0。 b)虚位移是要求约束所允许的。而我们考虑的真实运动q()和邻近的可能运动() 都是满足约束条件的,所以等时变分6q()也是满足约束条件的 因此等时变分与虚位移采用同一符号δq是适当的。 5.2.哈密顿原理(哈密顿最小作用量原理) 1. Hamilton原理(1834) 在b和n时间间隔内,一个保守的力学体系,受到的约束是完整的,理想的,有确定的始终点,即q(t) 和q(4)有确定的值,(oq()=(4)=0),在约束所允许的各种可能运动q()中,由动力学规 律( Lagrange方程)所决定的真实运动可由泛函S=「L(q91知取极值条件 a="L(q,9,1)=0给出。S称为 Hamilton作用量。 说明:这里的极值条件实际上是取逗留值的条件。这个逗留值是不是极值,以及是极大值还是极小值, 都还需进一步探讨。(参考资料3的334页给出了一个实例。教材250页也给出了一个实例。)如果积 分区间充分小,在稳定约束条件下,哈密顿原理的泛函在真实路径上取极小值。(参考资料13。第」 2. Hamilton原理可以作为力学第一性原理。意即 Hamilton原理等价于已有的可作为力学第一性原理 的原理。例如: Hamilton原理分→ Lagrange方程。在一个自由度的情况下,这个证明在5.1.3.(4) 中实际已经给出(并参阅教材247-250页)。 3.由 Hamilton原理可以推导正则方程。(教材252-253页) 4.利用哈密顿原理解力学问题,除了通过拉格朗日方程或正则方程以外,还可以直接求得 近似解 【例】(参阅参考资料3中的341页。)质量为m=1的质点在XY平面上运动,外力的势 能为=xy。在1=0时,它在原点(0,0),在t=1时,它在(2,0)。求质点的运动。 本题可以精确求解。我们先求出精确解,以备与以后求得的近似解进行比较。利用拉格朗 日函数L=(￥2+y2)-x求得拉格朗日方程: x+y=0 C sint+C2 cost+C3 sinht+ C cosht j+x=0求得通解: =C sint+C cost-C sinht-C. cosht 并求得满足端点条件的特解:x= sint sinha y=sint sinh. sin1 sinh 1 S=5(+)-4sm,h10h2 2sin-1 2 sinh 1 cot1+ cothl=1.955128=S极小值

6 a) 等时变分，要求δt＝0。虚位移指同一时刻 t 的假想的无限小位移，所以也有 t = 0。 b) 虚位移是要求约束所允许的。而我们考虑的真实运动 q t( ) 和邻近的可能运动 q t( ) 都是满足约束条件的，所以等时变分  q t( ) 也是满足约束条件的。 因此等时变分与虚位移采用同一符号  q 是适当的。 5．2．哈密顿原理（哈密顿最小作用量原理） 1． Hamilton 原理（1834） 在 t0 和 t1 时间间隔内，一个保守的力学体系，受到的约束是完整的，理想的，有确定的始终点，即 q t( 0 ) 和 q t( 1 ) 有确定的值，（   q t q t ( 0 1 ) = = ( ) 0 ），在约束所允许的各种可能运动 q t( ) 中，由动力学规 律（Lagrange 方程）所决定的真实运动可由泛函 ( )  = 1 0 , , t t S L q q t dt 取极值条件 ( )  = = 1 0 , , 0 t t S  L q q t dt 给出。S 称为 Hamilton 作用量。 说明：这里的极值条件实际上是取逗留值的条件。这个逗留值是不是极值，以及是极大值还是极小值， 都还需进一步探讨。（参考资料 3 的 334 页给出了一个实例。教材 250 页也给出了一个实例。）如果积 分区间充分小，在稳定约束条件下，哈密顿原理的泛函在真实路径上取极小值。（参考资料 13。第二 章 70 页） 2．Hamilton 原理可以作为力学第一性原理。意即 Hamilton 原理等价于已有的可作为力学第一性原理 的原理。例如：Hamilton 原理  Lagrange 方程。在一个自由度的情况下，这个证明在 5．1．3．（4） 中实际已经给出（并参阅教材 247－250 页）。 3．由 Hamilton 原理可以推导正则方程。（教材 252－253 页） 4．利用哈密顿原理解力学问题，除了通过拉格朗日方程或正则方程以外，还可以直接求得 近似解。 【例】（参阅参考资料 3 中的 341 页。） 质量为 m =1 的质点在 XY 平面上运动，外力的势 能为 V xy = 。在 t = 0 时，它在原点 (0,0) ，在 t =1 时，它在 (2,0) 。求质点的运动。 本题可以精确求解。我们先求出精确解，以备与以后求得的近似解进行比较。利用拉格朗 日函数 ( ) 1 2 2 2 L x y xy = + − 求得拉格朗日方程： 0 0 x y y x  + =   + = 求得通解： 1 2 3 4 1 2 3 4 sin cos sinh cosh sin cos sinh cosh x C t C t C t C t y C t C t C t C t  = + + +   = + − − 并求得满足端点条件的特解： sin sinh sin1 sinh1 t t x = + sin sinh sin1 sinh1 t t y = − ( ) 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 cos sin sinh cosh sin 2 sinh 2 2 sin 1 sinh 1 2sin 1 2sinh 1 t t t t t t S x y xy dt dt       − + = + − = + = +               = + = cot1 coth1 1.955128 min = S 极小值

(1)取满足端点条件的尝试路径:x=2t,y=0积分得S=2>1955128 (2)一般取依赖参数的满足端点条件的尝试路径(这只是可能路径中的一部分),求出使S 达到逗留值的参数值,以求得真实路径的近似表达式。例如:设 2+a(1-1),y=ar(1-t) L=a21-4+312+2r3-141+2a|1-2t-t2 s=Ldt a2--a+2 6S=0 a () =1.976852 如果取a=0,就得到1。中的结果。显然,这个结果不如现在的结果。 (3)改取依赖两个独立参数的满足端点条件的尝试路径: (1-),y=B(1-) (a,B)=(2 )+2(1-2n)2-( )f(1-) =(2+a-20)-21(-1)(-)b=0 δS=0即 p(-2)3-(2+a-ar)(- x= 2t+-t B 2793 =1.957912<S(结果有了改进 由于在我们所选择的尝试路径中没有包含真实路径在内,S的极值S仍大于真实路径对应的S=, 对应于S的尝试路径也与真实路径有误差。但这组近似解在0≤t≤1范围内与精确解已达到很好的近 似。(在大范围内与精确解相差甚远。) (4)如果预知y()的峰值对应于偏大的值,可设y=B1(1-12)这样可求得: 16 320 这样得到:S(=558=195515解的近似程度明显改善 (5)如果增加参数的个数,x=2+a2(1-1),y=Br(1-),也能改进结果,但工作 量大大增加。 (6)若采用不断增加的整数次数的幂函数作为修正项,将以无穷级数的形式逼近精确的运动方程。但 若只采用有限多项,就只能得到近似的结果

7 （1）取满足端点条件的尝试路径： x t y = = 2 , 0 积分得 S = 2 > 1.955128 （2）一般取依赖参数的满足端点条件的尝试路径（这只是可能路径中的一部分），求出使 S 达到逗留值的参数值，以求得真实路径的近似表达式。例如：设 x t t t y t t = + − = − 2 1 , 1   ( ) ( ) 2 2 3 4 2 3 L t t t t t t t = − + + − + − − + +       1 4 3 2 2 1 2 2     1 2 0 3 1 2 10 6 S Ldt = = − +     S = 0 5 18  = (1) min 427 1.976852 216 S = = 如果取  = 0 ，就得到 1。中的结果。显然，这个结果不如现在的结果。 （3）改取依赖两个独立参数的满足端点条件的尝试路径： x t t t y t t = + − = − 2 1 , 1   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 0 1 1 , 2 2 1 2 2 1 2 2 S S t t t t t t t dt           = = + − + − − + − −       S = 0 即： ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 1 2 2 0 2 2 1 2 1 0 1 2 2 1 0 S t t t t t t dt S t t t t t t dt           = + − − − − − =          = − − + − − =          ， 1 1 0 3 30 1 1 1 30 3 6      − =   − + =  ， 5 99 50 99    =    =  ， ( ) ( ) 5 2 1 99 50 1 99 x t t t y t t  = + −    = −  (2) min 12793 1.957912 6534 S = = < (1) min S 结果有了改进。 由于在我们所选择的尝试路径中没有包含真实路径在内， S 的极值 (2) min S 仍大于真实路径对应的 min S , 对应于 (2) min S 的尝试路径也与真实路径有误差。 但这组近似解在 0 1  t 范围内与精确解已达到很好的近 似。（在大范围内与精确解相差甚远。） （4）如果预知 y t( ) 的峰值对应于偏大的 t 值，可设 ( ) 2 y t t = −  1 这样可求得： 16 320 , 317 951   = = 这样得到： (3) min 5578 1.955135 2853 S = = 解的近似程度明显改善。 （5）如果增加参数的个数， x t t t 2 1( )   = + −  ， y t t (1 )   = −  ，也能改进结果，但工作 量大大增加。 (6)若采用不断增加的整数次数的幂函数作为修正项，将以无穷级数的形式逼近精确的运动方程。但 若只采用有限多项，就只能得到近似的结果

以上所求得的各个S(均大于S,因为前者只是部分可能路径所对应的S值中的极小值,后者 才是全体可能路径所对应的S值中的极小值。为求得较好的近似解,就需要选择适当的尝试函数,这就 需要丰富的经验和对于未知函数特点的定性分析。本例所用的方法在量子力学中也有重要的应用 5.哈密顿原理在力学和物理学中的地位: 变分原理有多种形式。 微分变分原理:虚功原理,动力学的普遍方程,等等。 积分变分原理:除 Hamilton原理外,也有其他不同形式,其中以 Hamilton原理最为简单方 便而常用。 Hamilton原理和以前学过的与之等价的(即可以互相推导得到的)原理或方程 均可取作力学第一性原理。但 Hamilton原理有其优点 ①从整体考察体系的运动规律,挑出真实运动。这是积分形式的变分原理的优点 Q具有直观紧凑的形式δS=0。 ③ Hamilton原理着眼于能量,便于推广到光学、电磁场理论、量子理论等。事实上 Hamilton 原理已成为现代物理学理论中的第一性原理。 作为第一性原理是不必也是不可能证明的。其正确性是用由它推导出的结论和实验进行比较 得到检验的。由于在经典力学中已经有直接得到实验检验的牛顿定律,从而知道,和牛顿方 程等价的 Hamilton作用量表达式中应有L=T-V,因而 Hamilton原理似乎是可以推出来的。 其实这是一种错觉。事实上在一些现代物理的领域(例如量子场论),在建立理论的过程中 难以从已有的实验事实直观地归纳出定律或运动方程。就往往采用以下步骤:根据物理学理 论的一些已经过实验检验的基本要求(例如对称性等)和来自相关实验事实的启示,构造出 L一函数,然后由 Hamilton原理导出运动方程,通过从运动方程得到的结果和实验比较,来 检验理论的正确与否。如果理论与实验有距离,再分析存在的问题,修改L一函数,从而由 Hamilton原理导出的运动方程也得到修改。如此实践一认识一再实践一再认识,不断提高认 识,改进理论 关于变分原理的更多内容,可参阅参考资料2。3。4。13的有关章节。 第五章习题: 272页8.4,8.5,8.6,(要求在多个自由度的一般情况下进行推导)

8 以上所求得的各个 ( ) min i S 均大于 min S ，因为前者只是部分可能路径所对应的 S 值中的极小值，后者 才是全体可能路径所对应的 S 值中的极小值。为求得较好的近似解，就需要选择适当的尝试函数，这就 需要丰富的经验和对于未知函数特点的定性分析。本例所用的方法在量子力学中也有重要的应用。 5．哈密顿原理在力学和物理学中的地位： 变分原理有多种形式。 微分变分原理：虚功原理，动力学的普遍方程，等等。 积分变分原理：除 Hamilton 原理外，也有其他不同形式，其中以 Hamilton 原理最为简单方 便而常用。Hamilton 原理和以前学过的与之等价的（即可以互相推导得到的）原理或方程， 均可取作力学第一性原理。但 Hamilton 原理有其优点。 ○1 从整体考察体系的运动规律，挑出真实运动。这是积分形式的变分原理的优点。 ○2 具有直观紧凑的形式  S = 0。 ○3 Hamilton 原理着眼于能量，便于推广到光学、电磁场理论、量子理论等。事实上 Hamilton 原理已成为现代物理学理论中的第一性原理。 作为第一性原理是不必也是不可能证明的。其正确性是用由它推导出的结论和实验进行比较 得到检验的。由于在经典力学中已经有直接得到实验检验的牛顿定律，从而知道，和牛顿方 程等价的 Hamilton 作用量表达式中应有 L=T-V，因而 Hamilton 原理似乎是可以推出来的。 其实这是一种错觉。事实上在一些现代物理的领域（例如量子场论），在建立理论的过程中， 难以从已有的实验事实直观地归纳出定律或运动方程。就往往采用以下步骤：根据物理学理 论的一些已经过实验检验的基本要求（例如对称性等）和来自相关实验事实的启示，构造出 L－函数，然后由 Hamilton 原理导出运动方程，通过从运动方程得到的结果和实验比较，来 检验理论的正确与否。如果理论与实验有距离，再分析存在的问题，修改 L－函数，从而由 Hamilton 原理导出的运动方程也得到修改。如此实践－认识－再实践－再认识，不断提高认 识，改进理论。 关于变分原理的更多内容，可参阅参考资料 2。3。4。13 的有关章节。 第五章习题： 272 页 8．4，8．5，8．6，（要求在多个自由度的一般情况下进行推导）