《分析力学》课程教学资源（电子教案）第二章 牛顿动力学方程（上）

第二章牛顿动力学方程(上) 参阅教材第一章:第三章) 2.1.质点的牛顿动力学方程概述 的牛顿动力学方程(见§1.2.) 2.质点的动力学定理(参阅§1.4.一§1.6.)均由牛顿动力学方程导出 (作为复习可阅读11,13,16页) 3.质点动力学的三个运动积分(参阅§1.4.一§1.6.) 4.简单实例抛射体单摆(自行复习) *5.变质量质点(参阅§1.7.自行选学) 2.2.在中心力场中单粒子的运动有效势能 中心力场:力场中力的作用线保持通过一固定点O(力心)质点P的矢径产=OP F‖PF=F(r,6,9)为径向单位矢量 注意:这里F与力F的大小F含义不同。事实上F=F,是中心力在径向单位矢量 上的投影。F>0对应于斥力:F<0对应于引力。 中心力场的特点:中心力场可以表为:F=石F=1(x,y)是F的数量函数 角动量守恒:m=F=AF∵中心力场的力矩M=F×F=0∴Fxm=0 即4「F×mi=0,从而得到角动量守恒:L=xm=C(即面积速度守恒) 平面运动:由角动量守恒得LF=CP=Cx+C2y+C=(xm),F=0 所以在中心力场中的质点必在平面C1x+C2y+C3二=0内运动。因而可采用平面极坐 标。从而L=7xm(问+r)=mr0k 角动量守恒可表为mr2=L或r2b=h(h为2倍面积速度) 2.有势力场: F=-V(x,y,),或F=-V(r,6,q) V=;+D;aV或变换到球坐标var ve 其中: Oy =[++9 y ax 7+j+-k|=-=

1 第二章 牛顿动力学方程 （上） （参阅教材第一章；第三章） 2．1．质点的牛顿动力学方程概述 1．质点的牛顿动力学方程（见§1．2．） 2．质点的动力学定理 （参阅§1．4．－§1．6．）均由牛顿动力学方程导出 （作为复习可阅读 11，13，16 页） 3．质点动力学的三个运动积分（参阅§1．4．－§1．6．） 4．简单实例 抛射体 单摆 （自行复习） *5．变质量质点（参阅§1．7．自行选学） 2．2．在中心力场中单粒子的运动 有效势能 1．中心力场：力场中力的作用线保持通过一固定点 O (力心),质点 P 的矢径 r OP = F r F F r e = ( , ,   ) r r e 为径向单位矢量。 注意：这里 F 与力 F 的大小 F 含义不同。事实上 F F e =  r 是中心力在径向单位矢量 上的投影。 F ＞ 0 对应于斥力； F ＜ 0 对应于引力。 中心力场的特点：中心力场可以表为： F r =    = ( x y z , , ) 是 r 的数量函数。 角动量守恒： mr F r = =  中心力场的力矩 M r F =  = 0   = r mr 0 即 0, d r mr dt    =   从而得到角动量守恒： L r mr C =  = （即面积速度守恒） 平面运动： 由角动量守恒得 L r C r C x C y C z r mr r  =  = + + =   = 1 2 3 ( ) 0 所以在中心力场中的质点必在平面 1 2 3 C x C y C z + + = 0 内运动。因而可采用平面极坐 标。从而 ( ) 2 L re m re r e mr k =  + = r r    角动量守恒可表为 2 mr L  = 或 2 r h  = （ h 为 2 倍面积速度） 2．有势力场： F V x y z = − ( , , ) ，或 F V r = − ( , ,   ) V V V V i j k x y z     = + +    或变换到球坐标 V V V V r r         =  +  +     其中： V r V V V x x r x x            = + +        ， V y  =  ， V z  =  ，或 r r r r x y z r r i j k i j k e x y z r r r r         = + + = + + = =           

Vo=-arctan=i+-arctan-j=-22i+ t cos p rsin e V6= 〃S°。(请同学们自行计算,可参阅第一章1.2.节球坐标的有关公式。 于是就得到:F=-VV av1 ap ar rae rsIn 8 dg 3.中心势场:上述两方面条件都要满足,V=M·即势能只与r有关:F=(r) 思考:1.F有势:F=_V:2.F是中心力场:F=F;3.F=F与6,9无 关:F=F():在以上三者中,已知其中两者成立,能否推出另一者也成立? 4.在中心势场中单粒子运动的解(参阅70-71页) 动力学微分方程: m(+20)=0…() F 对上面的微分方程组积分,得到r=r(1),O=(1),消去t得到轨道方程。具体做,可利用 守恒定律(初积分):从(1)得角动量守恒,(h=r26是面积速度的两倍 20=L=mh (3) 在(2)中消去O,得r的微分方程,d求另一个初积分,得能量守恒, 2 其中第二项为离心势能,二、三两项之和V()=2+V()为有效势能。 进一步对(3)和(4)式进行积分(参阅教材(2。7)-(2。9)式)可得运动方程: mru dt+0 mr2() 2

2 ( ) 2 2 2 2 1 1 arctan arctan sin cos sin sin y y y x i j i j i j e x x y x r r x y x y          = + = − + = − + =   + +  1 sin e r   = （请同学们自行计算，可参阅第一章 1．2．节球坐标的有关公式。） 于是就得到： 1 1 ( ) sin r V V V F V e e e r r r         = − = − + +    3．中心势场：上述两方面条件都要满足，即 0, 0 V V     = =   ，即势能只与 r 有关： V V r = ( ) r dV dV F V r e dr dr = − = −  = − ， dV F dr = − 思考：1．F 有势： F V = − ；2．F 是中心力场： F Fe = r ；3．F F e =  r 与  , 无 关： F F r = ( ) ；在以上三者中，已知其中两者成立，能否推出另一者也成立？ 4．在中心势场中单粒子运动的解 （参阅 70—71 页） 动力学微分方程： ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 2 m r r dV m r r F dr     + =    − = = −  对上面的微分方程组积分,得到 r r t t = = ( ), ( )   ,消去 t 得到轨道方程。具体做，可利用 守恒定律（初积分）：从（1）得角动量守恒， ( h 2 = r  是面积速度的两倍,) 2 mr L  = = mh. （3） 在（2）中消去  ，得 r 的微分方程， dr 求另一个初积分，得能量守恒， ( ) 2 2 2 2 2 m L r V r E mr + + = （4） 其中第二项为离心势能，二、三两项之和 ( ) ( ) 2 2 2 eff L V r V r mr = + 为有效势能。 进一步对（3）和（4）式进行积分（参阅教材（2。7）—（2。9）式）可得运动方程： ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 2 2 0 5 2 6 ( ) r r t t mrdr t t m E V r r L L dt mr t   =  +   − −   = +  

和轨道方程 Ldr r 2m[E-v()]2-12 【思考】1.(5)(7)式中的±号怎样确定?(6)式中应该有±号吗? 2.分析以上积分过程中引入的积分常数的物理意义和它们之间的关系 另一种方法:利用比耐(Bine)公式直接求轨道方程,然后求运动方程。(见教材80页)具体 方法如下:利用m20=L可将运动微分方程(2)中的消去(并记=u)事实上, dt de m de l dr mr2 de m i l du 12d2u m de d-u 于是得到比耐公式(轨道微分方程):u +u F de- 方程(8)中的F应满足中心力的要求,但不限于有势力。 积分此微分方程即得到轨道方程u=u(0)或r=r(0)进一步可利用角动量守恒求得运动方 程。在中心力有势的条件下,能量积分可由(4)式经变量代换得到:(也可由比耐公式(8) 积分得到) L(du ++V=E 2ml 5.讨论:(不仅要会定量计算,分析结果的物理意义,也要会分析得到一些定性的结论) ①不变号:得到θ的单调性(增或减随坐标的不同选择而定。) r26=cons.面积速度守恒(本质就是角动量守恒) r:由于角动量守恒,很容易得到r满足的一维方程(利用(3)式消去(2)式中的O) 转变点和轨道的有限性和无限性 可以由r取值的范围判断轨道的有限与无限 道伸向无限。 轨道限制在某一环域内。 也可由势能和总能量的值之间的关系判断轨道的有限与无限 V(∞)>E质点不可能到无限远处(束缚态) (∞)≤E质点可以到无限远处(散射态)

3 和轨道方程： ( ) ( ) 0 0 2 2 7 2 r r Ldr r m E V r r L   =  +   − −    【思考】1．（5）（7）式中的  号怎样确定？（6）式中应该有  号吗？ 2．分析以上积分过程中引入的积分常数的物理意义和它们之间的关系。 另一种方法：利用比耐(Binet)公式直接求轨道方程，然后求运动方程。（见教材 80 页）具体 方法如下： 利用 2 mr L  = 可将运动微分方程（2）中的 d dt 消去.(并记 1 u r = )事实上, 2 d d Lu d dt d m d    = = 2 L dr L du r mr d m d    = = − 2 2 2 2 2 2 ( ) L d L du L d u r u u m d m d   m d = − = − 于是得到比耐公式(轨道微分方程)： 2 2 2 2 d u m u u F d L      + = −   （8） 方程（8）中的 F 应满足中心力的要求，但不限于有势力。 积分此微分方程即得到轨道方程 u u = ( )  或 r r = ( )  进一步可利用角动量守恒求得运动方 程。在中心力有势的条件下，能量积分可由（4）式经变量代换得到：（也可由比耐公式（8） 积分得到） 2 2 2 2 L du u V E m d         + + =       （9） 5．讨论；（不仅要会定量计算，分析结果的物理意义，也要会分析得到一些定性的结论） ○1  不变号：得到  的单调性（增或减随坐标的不同选择而定。） 2 r const  = . 面积速度守恒（本质就是角动量守恒） r ：由于角动量守恒，很容易得到 r 满足的一维方程（利用(3)式消去（2）式中的  ） ○2 转变点和轨道的有限性和无限性； 可以由 r 取值的范围判断轨道的有限与无限； min r r  轨道伸向无限。 min max r r r   轨道限制在某一环域内。 也可由势能和总能量的值之间的关系判断轨道的有限与无限； V E ( ) 质点不可能到无限远处（束缚态） V(  )  E 质点可以到无限远处（散射态）

*⑥轨道的封闭性的讨论(见71—72页)。 *④中心势场中粒子运动轨道的稳定性(见§3.4.) 【例】与距离成反比的中心势场 (r)∝(牛顿引力势和库仑静电势均属此。)分为两种情况:V(r)=±、(a>0)“+” 对应于排斥势,“一”对应于吸引势。下面我们首先讨论吸引势。万有引力就是一个实例 GMm k =-mkan引力势(r) nu=-au a=mk 其中M:太阳质量,m:行星质量,G万有引力常数;k2=GM太阳的高斯常数(注意: 这里我们设定∞处的势能值为零) 1.利用对有效势能vn=-+ 2m2的定量的分析(必有一负的极小值)得到对粒 子运动情况的定性描述(由势能和总能量的值之间的关系判断轨道的有限与无限)。(见74 75页) 2.利用比耐公式: u +l4= L/am 解得:l=Acos(6-)+n或 1+4(L2/ma)cos(-) 其中A,为积分常数,这是圆锥曲线,力心位于一个焦点。适当选择极轴,使b=0 与圆锥曲线的标准方程r=P 1+ e cose相比较可得 AL2 半通径P=一,偏心率e=Ap 也可利用由能量积分得到的(7)式推导轨道方程(见76页)并与圆锥曲线的标准方 P相比可得;p=E 2ELZ 1+ecos 讨论轨道曲线的几何参数和动力参数之间的关系。(76—77页) 与圆锥曲线的标准方 程相比较就可得到物理参量E,L和几何参量p,e之间的关系 p=L /ma L=√pmx 2E或 2L2 (e2-1)=(e2-1) n 当E<0,e<1,轨道为椭园。与直角坐标系中的椭圆标准方程+y2

4 *○3 轨道的封闭性的讨论（见 71—72 页）。 *○4 中心势场中粒子运动轨道的稳定性 （见§3．4．） 【例】 与距离成反比的中心势场 ( ) 1 V r r  （牛顿引力势和库仑静电势均属此。）分为两种情况： V r( ) , 0 ( ) r  =    “+” 对应于排斥势，“—”对应于吸引势。下面我们首先讨论吸引势。 万有引力就是一个实例 2 2 2 2 2 GMm k m F mk u r r = − = − = − 引力势 2 V r k mu u ( ) = − = − 2  = mk 其中 M :太阳质量; m :行星质量; G :万有引力常数; 2 k GM = 太阳的高斯常数（注意： 这里我们设定 ∞ 处的势能值为零） 1．利用对有效势能 2 2 2 eff L V r mr  = − + 的定量的分析（必有一负的极小值）得到对粒 子运动情况的定性描述（由势能和总能量的值之间的关系判断轨道的有限与无限）。（见 74 —75 页） 2． 利用比耐公式： 2 2 2 2 2 2 2 2 d u m m m u u F u d L L r L          + = − = − − =       解得： ( 0 ) 2 cos m u A L  = − +   或 ( ) 2 2 0 / 1 / cos( ) L m r A L m     = +  − 其中 0 A, 为积分常数，这是圆锥曲线，力心位于一个焦点。适当选择极轴,使 0  = 0 , 与圆锥曲线的标准方程 1 cos p r e  = + 相比较可得： 半通径 2 L p m = ， 偏心率 2 AL e Ap m = = 也可利用由能量积分得到的（7）式推导轨道方程（见 76 页）并与圆锥曲线的标准方 程 1 cos p r e  = + 相比可得： 2 L p m = ， 2 2 2 1 EL e m = + 讨论轨道曲线的几何参数和动力参数之间的关系。（76—77 页） 与圆锥曲线的标准方 程相比较就可得到物理参量 E L, 和几何参量 p e, 之间的关系: 2 2 2 / 2 1 p L m EL e m    =    = +  或 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 2 L pm m E e e L p     =    = − = −  当 E  0 ， e 1 ，轨道为椭圆。与直角坐标系中的椭圆标准方程 2 2 2 2 1 x y a b + =

相比较,可得 2E2ma(1-e) E=-a/(2),2=-2mEb2=ma(1-e) 当E=0,轨道为抛物线:当E>0,轨道为双曲线。三类轨道的主要特性,列表比较如下: 轨道的分类 双曲线 抛物线 椭圆 (圆) ≥0 (e=0) E>0 E=0 0,0≤<acos(e-) 1+A(L2/ma)-cos0 当=0,r达到r=c+a(在直角坐标系中的标准方程下,力心所在的焦点和这支双 曲线分别位于原点的左右两侧。) 开普勒( Kepler)三定律(77页) 2.3.质点系的牛顿动力学方程 1.从动力学方面看,一个质点系能不能归结为单个质点的力学问题,要看这些质点间有 没有相互作用力,有没有涉及两个或多个质点的约束关系(此时约束力就是相互作用力)。 10页的实例: (1)忽略太阳的运动,M,=∞忽略行星间相互作用:各行星为独立的质点 (2)太阳质量有限,忽略其余行星的质量:地球与太阳是两体问题 (3)太阳和行星间的所有相互作用均考虑:太阳系是一个质点系 2.质点系的牛顿动力学方程 m =F1=12,…n共3个方程,含3个未知函数(),正好求解

5 相比较，可得： ( ) 2 2 2 1 2 2 1 p L a e E m e   = = − = − − , ( ) 2 2 2 2 1 2 L b a e mE = − = − E a = − / 2( ), ( ) 2 2 2 L mEb ma e = − = − 2 1  当 E = 0 ，轨道为抛物线；当 E  0 ，轨道为双曲线。三类轨道的主要特性，列表比较如下： 轨道的分类: 双曲线 抛物线 椭圆 (圆) e 1 e =1 1 0  e ( 0) e = E  0 E = 0 E  0 ( 2 2 2 m E L  = − ) 当  = 0 ( 1) 1 p r c a a e e = = − = − + 2 p r q = = (1 ) 1 p r a c a e e = = − = − + ( ) r a = 2 1 p a e = − (半实轴) 2 p q = (焦顶距) 2 1 p a e = − (半长轴) 2 L m a e = −  ( 1) L m q = 2  2 L m a e = −  (1 ) 2 E a  = + E = 0 2 E a  = − 3．有了轨道方程，可以进一步推导运动方程（78 页） 讨论排斥势（78—79 页）   →− ，V r = + / 为正， E 必须大于零。轨道必定为双曲线。 由 ( ) 2 2 / 1 / cos L m r A L m    = +  1 cos p r e  −  = − 为使 r  0 ， 1 0 arccos( )  e −   当  = 0， r 达到 min r c a = + （在直角坐标系中的标准方程下，力心所在的焦点和这支双 曲线分别位于原点的左右两侧。） 开普勒（Kepler）三定律（77 页） 2．3．质点系的牛顿动力学方程 1．从动力学方面看，一个质点系能不能归结为单个质点的力学问题，要看这些质点间有 没有相互作用力，有没有涉及两个或多个质点的约束关系（此时约束力就是相互作用力）。 10 页的实例： （1）忽略太阳的运动， M s =  忽略行星间相互作用：各行星为独立的质点。 （2）太阳质量有限，忽略其余行星的质量：地球与太阳是两体问题。 （3）太阳和行星间的所有相互作用均考虑：太阳系是一个质点系。 2．质点系的牛顿动力学方程 i i Fi m r    = i = 1,2, n 共 3n 个方程，含 3n 个未知函数 r (t) i  ，正好求解

如果还有k个约束厂6…元;…,;)2=0,J=12…,k则包含主动力(一般为已知的) 和未知的约束力。这样方程多了k个,未知函数也增加k个(一个约束一般地提供 个未知的约束力)。由此可见约束越多,方程 个数越多,未知函数个数也越多,问题也就越 复杂。用牛顿定律解有约束的力学问题时,通 R∠m 常总要先消去未知的约束力和不独立的坐标 我们来讨论第10页图1.7的实例(参阅 10页33页) n(R-R2)=-F() 牛顿方程为{m(Ri+2R)=0(2) =Fr -mg 1个约束方程为R-z-l=0 (4)(参阅教材33页) 1个约束方程使未知量和方程都增加了1个:4个未知量(3个未知坐标函数R,Q,二和1个 未知约束力F),由4个方程(3个动力学方程和1个约束方程)决定;约束的存在也使3 个坐标R,,不再完全独立,于是可利用约束方程(4)将z=R-1消去,同时使约束方程 自动成为恒等式。再将(1)(3)两式相加,可以消去未知的约束力F。这样化简为含两个 未知量R,q的两个方程(见33页(5),(6)式)。这是解牛顿动力学方程时常用的方法, 但在较复杂情况下,对质点系中每个质点写出动力学方程组是很不方便的。我们将在第三章 (拉格朗日力学)中系统地讨论寻找消去未知约束力的比较方便的方法。这里我们只从整体 方面来研究质点系的动力学。为此先讨论质点系的动量、角动量和动能。 3.质点系的动量、角动量和动能 为此我们先引入质点系质心的概念:设质点系的第i个质点P的质量为m,矢径 元=OP质心C的矢径元=OC,由下式定义:∑m=m,设P相对于质心的 矢径,则=E+F可得∑mF=0 这样定义的质心,必须不依赖原点O的选择,才有物理意义。(思考:如何证明?) 对于质量均匀分布的物体而言,质心就是形心。对于位于均匀重力场中的物体而言,质 心就是重心。 质点系的动量p,=∑m=m=应+p 其中:P=m(质心的动量)p=∑m=0(相对于质心的动量

6 如果还有 k 个约束 f (r r r r t) j k j n n , , ; , , ; 0, 1,2, , 1 1          = = 则 Fi  包含主动力（一般为已知的） 和未知的约束力。这样方程多了 k 个，未知函数也增加 k 个（一个约束一般地提供一 个未知的约束力）。由此可见约束越多，方程 Z 个数越多，未知函数个数也越多，问题也就越 复杂。用牛顿定律解有约束的力学问题时，通 R m 常总要先消去未知的约束力和不独立的坐标。  我们来讨论第 10 页图 1．7 的实例（参阅 10 页 33 页） 牛顿方程为 ( ) ( ) 2 (1) 2 0 (2) (3) T T m R R F m R R m z F m g     − = −    + =    = −  m  1 个约束方程为 R z l − − = 0 (4) （参阅教材 33 页） 1 个约束方程使未知量和方程都增加了 1 个：4 个未知量（3 个未知坐标函数 R z , ,  和 1 个 未知约束力 FT ），由 4 个方程（3 个动力学方程和 1 个约束方程）决定；约束的存在也使 3 个坐标 R z , ,  不再完全独立，于是可利用约束方程(4) 将 z R l = − 消去，同时使约束方程 自动成为恒等式。再将（1）（3）两式相加，可以消去未知的约束力 FT 。这样化简为含两个 未知量 R, 的两个方程（见 33 页（5），（6）式）。这是解牛顿动力学方程时常用的方法， 但在较复杂情况下，对质点系中每个质点写出动力学方程组是很不方便的。我们将在第三章 （拉格朗日力学）中系统地讨论寻找消去未知约束力的比较方便的方法。这里我们只从整体 方面来研究质点系的动力学。为此先讨论质点系的动量、角动量和动能。 3．质点系的动量、角动量和动能 为此我们先引入质点系质心的概念：设质点系的第 i 个质点 Pi 的质量为 mi ，矢径 i OPi r =  质心 C 的矢径 rC = OC  ， C r  由下式定义： s C i i i m r m r    = 设 Pi 相对于质心的 矢径 i r   ，则 i C i r = r + r     可得   = 0 i i i m r  这样定义的质心，必须不依赖原点 O 的选择，才有物理意义。（思考：如何证明？） 对于质量均匀分布的物体而言，质心就是形心。对于位于均匀重力场中的物体而言，质 心就是重心。 质点系的动量 s i i s C C i p m r m r p p = = = +   其中： C s C p m r = （质心的动量）  =   = 0 i i i p m r    （相对于质心的动量）

质点系的角动量L=∑×m=Lc+D(相对于“固定点”—惯性系的坐标原点) 其中:L=乙Xm(质心的角动量)D=∑xm”(相对于质心的角动量) 质点系的动能:(寇尼希 Koenig定理) 7=2m(+的)+=2m+22m可=+T 其中=2mx2=m(顺包的动能)r=2m2(相对于质心的动能 质点系的内力和外力:质点P所受的作用力F=F+F,右边两项分别为外力和 内力,F=∑FF为质点P对质点P的作用力,由牛顿第三定律F=-F得 ∑F=0从而∑F=∑F 质点系的内力矩和外力矩:质点P所受的作用力矩M=元xF 内力矩对xF+×F=(-)kF ∑×F=∑∑F=1∑GxF+xF)=0从而∑M=∑xF 注意:内力作的功一般不能抵消,这是因为内力对的功一般不能抵消: 综上所述,质点系的动量,角动量和动能都可以分解成质心的和相对于质心的两部分之 和。前者可看成把质量集中于质心的一个质点的物理量,后者与相对于固定点的物理量具有 相同的形式;因此这种分解是很方便的 4.质点系的三个动力学定理 从整体方面来研究质点系的动力学,具体说来就是动力学的三大定理[动量定理,角动量定理 动能定理,分别见第一章的(4.11)(5.5)(6.4)]。质点系的三个动力学定理均由质点的三 个动力学定理导出(12,14,17页),一共七个方程。质点系的角动量定理和动能定理,在惯性 系和质心系(15页)中具有相同的形式,相互等价(16,17页)。 【思考】是否需要讨论质心系中的动量定理? 注:由于角动量的定义L=F×m既依赖参考系,又依赖参考点的选择,(v依赖参考 系,r的终点依赖参考系,起点还依赖参考点)。因此角动量定理的表达式也既与参考系有 关,又与参考点的选择有关(一般情况下的讨论见15-16页)。 5.质点系的三个守恒定律 质点系的三个守恒定律由质点系的三个动力学定理在一定条件下得到 当F()=0则有p,=cOn,即动量守恒定律

7 质点系的角动量 i i i C i L r m r L L =  = +   （相对于“固定点”——惯性系的坐标原点） 其中： L r m r C C s C =  （质心的角动量）  =    i i i i L r m r     （相对于质心的角动量） 质点系的动能：（寇尼希 Koenig 定理） ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 2 2 i C i C i i C i i C i i i T m v v v v m v m v T T = +  + = + = +        其中： 1 1 2 2 2 2 C i C s C i T m v m v = =  （质心的动能） 1 2 2 i i i T m v   =  （相对于质心的动能） 质点系的内力和外力：质点 Pi 所受的作用力 ( ) (i) i e Fi Fi F    = + ，右边两项分别为外力和 内力， ( )   = j i ji i Fi F   Fji  为质点 Pj 对质点 Pi 的作用力，由牛顿第三定律 Fji Fij   = − 得 ( )  = 0 i i Fi  从而 ( )  =  i e i i Fi F   质点系的内力矩和外力矩：质点 Pi 所受的作用力矩 i i Fi M r    =   内力矩对 ri  Fji + rj  Fij = (ri − rj) Fji = 0        ( ) ( ) ( ) 0 2 1     =   +  =   j i i, j i j i j i j j i j i i i i i ri Fi r F r F r F         ＝ 从而 ( )  =   i e i i i Mi r F    注意：内力作的功一般不能抵消，这是因为内力对的功一般不能抵消： Fij  drj + Fji  dri = Fij (drj − dri)  0        。 综上所述，质点系的动量，角动量和动能都可以分解成质心的和相对于质心的两部分之 和。前者可看成把质量集中于质心的一个质点的物理量，后者与相对于固定点的物理量具有 相同的形式；因此这种分解是很方便的。 4．质点系的三个动力学定理 从整体方面来研究质点系的动力学，具体说来就是动力学的三大定理[动量定理，角动量定理， 动能定理，分别见第一章的（4．11）（5．5）（6．4）]。质点系的三个动力学定理均由质点的三 个动力学定理导出（12，14，17 页），一共七个方程。质点系的角动量定理和动能定理，在惯性 系和质心系（15 页）中具有相同的形式，相互等价（16，17 页）。 【思考】是否需要讨论质心系中的动量定理？ 注：由于角动量的定义 L r mv =  既依赖参考系，又依赖参考点的选择，（ v 依赖参考 系， r 的终点依赖参考系，起点还依赖参考点）。因此角动量定理的表达式也既与参考系有 关，又与参考点的选择有关（一般情况下的讨论见 15－16 页）。 5．质点系的三个守恒定律 质点系的三个守恒定律由质点系的三个动力学定理在一定条件下得到。 当 ( ) = 0 e F  则有 p const. s =  即动量守恒定律

当M=0则有L=cOnt.即角动量守恒定律 注意:由于动量和角动量都是矢量,对应的守恒定律还可以在某个方向上成立: 当F(=0(是常矢量)则有1p,=cOn即动量在某一方向上的投影守恒 相仿角动量也可有某一方向上的投影守恒。 由于动能守恒要求的条件太强,意义不大。有重要意义的是有势力情形下的机械能守 恒定律。如果F=-V,…)则dT=-∑VVG,…)=d d(7+V)=0即T+=E=con这是机械能守恒定律 说明:①.动力学三大定理和动力学方程原则上是等价的(前者就是后者的初积分),可以 互相代替。只是在不同的情况下,用不同方法,繁简程度各不相同。 根据已知力的不同情况选择不同的方法。例如:力只是时间的函数,用动量定理 往往比较方便:力只是空间坐标的函数,用动能定理可能比较方便 .视问题的不同要求选择不同的方法。例如:如要求某个时刻的量,可能用动量定 理比较方便;如果要求某个空间位置的量,可能用动能定理比较方便。 ④.若某个守恒定律成立,则可直接利用。 ⑥.在学习过程中,注意积累经验,提高灵活运用各种方法的能力 6.运动积分和约束的区别和关系 4.两体问题 我们来讨论由两个质点组成的质点系,即两体问题。通常两体问题可以得到严格的 解:两体运动总可分解为质心运动和相对运动(或相对于质心的运动)两部分,在势能满足 定条件时(即势能也可作相应的分解),这两部分运动分别相当于一个单粒子问题。这里 “严格”并不意味着可用初等函数来表示精确的解,事实上,能够这样求解的单粒子问题也 为数不多。(注:任何质点系的运动都可分解为质心运动和相对于质心的运动,而且质心运 动总是相当于一个单粒子的运动;但只有两体问题中,相对于质心的运动才可以表为用相对 矢径和折合质量表征的单粒子运动。在三体问题中,相对于质心的运动无法精确分解为单粒 子运动。更不用说质点更多的情况了。) 【例】地球围绕太阳运动在忽略其他天体的作用力的条件下就是一个两体问题。可以将 这个两体问题分解为两个单体问题: 太阳和地球组成的力学体系的质心的运动; 地球围绕太阳转动(相对运动)或地球与太阳一起围绕质心转动(相对于质心的运动)。 2.两体运动分解为质心运动和相对运动的具体方法 注意坐标系的取法和记法:以0标记惯性系中的矢量,其中固定坐标系(实验室坐标系) O-x00Z0,C为质心,质心坐标系C-2为以C为原点,各坐标轴分别与固定坐标 系对应轴平行。 质点(图3。2)质量m,矢径=Ec+(i=1,2)=OM1,C=OC,F=CM1(1) 质心的矢径,满足mc=(m1+m2)c=m+m2(2) 相对矢径 =1-l2=1-2=M2M

8 当 M = 0  则有 L = const.  即角动量守恒定律。 注意：由于动量和角动量都是矢量，对应的守恒定律还可以在某个方向上成立： 当 ( )  = 0 e l F   （ l  是常矢量）则有 l p const.  s =   即动量在某一方向上的投影守恒 相仿角动量也可有某一方向上的投影守恒。 由于动能守恒要求的条件太强，意义不大。有重要意义的是有势力情形下的机械能守 恒定律。如果 ( ) i i n F r r     , , = − 1 则 dT V(r r ) dr dV i = −i n  i = −     , , 1 d(T +V) = 0 即 T +V = E = const 这是机械能守恒定律。 说明：○1 ．动力学三大定理和动力学方程原则上是等价的（前者就是后者的初积分），可以 互相代替。只是在不同的情况下，用不同方法，繁简程度各不相同。 ○2 ．根据已知力的不同情况选择不同的方法。例如：力只是时间的函数，用动量定理 往往比较方便；力只是空间坐标的函数，用动能定理可能比较方便。 ○3 ．视问题的不同要求选择不同的方法。例如：如要求某个时刻的量，可能用动量定 理比较方便；如果要求某个空间位置的量，可能用动能定理比较方便。 ○4 ．若某个守恒定律成立，则可直接利用。 ○5 ．在学习过程中，注意积累经验，提高灵活运用各种方法的能力。 6．运动积分和约束的区别和关系。 2．4．两体问题 1．我们来讨论由两个质点组成的质点系，即两体问题。通常两体问题可以得到严格的 解：两体运动总可分解为质心运动和相对运动（或相对于质心的运动）两部分，在势能满足 一定条件时（即势能也可作相应的分解），这两部分运动分别相当于一个单粒子问题。这里 “严格”并不意味着可用初等函数来表示精确的解，事实上，能够这样求解的单粒子问题也 为数不多。(注：任何质点系的运动都可分解为质心运动和相对于质心的运动，而且质心运 动总是相当于一个单粒子的运动；但只有两体问题中，相对于质心的运动才可以表为用相对 矢径和折合质量表征的单粒子运动。在三体问题中，相对于质心的运动无法精确分解为单粒 子运动。更不用说质点更多的情况了。) 【例】地球围绕太阳运动在忽略其他天体的作用力的条件下就是一个两体问题。可以将 这个两体问题分解为两个单体问题： 太阳和地球组成的力学体系的质心的运动； 地球围绕太阳转动（相对运动）或地球与太阳一起围绕质心转动（相对于质心的运动）。 2．两体运动分解为质心运动和相对运动的具体方法： 注意坐标系的取法和记法：以 0 标记惯性系中的矢量，其中固定坐标系（实验室坐标系） O X Y Z − 0 0 0 ，C 为质心，质心坐标系 C XYZ − 为以 C 为原点，各坐标轴分别与固定坐标 系对应轴平行。 质点（图 3。2）质量 mi ，矢径 0 0 i C i r r r = + (i =1,2) 0 0 , , i i C i i r OM r OC r CM = = = （1） 质心的矢径 0C r ，满足 m r m m r m r m r s C C 0 1 2 0 1 01 2 02 = + = + ( ) (2) 相对矢径 01 02 1 2 2 1 r r r r r M M = − = − = (3)

由(2)可以得到mn+m22=0 (4) 由(3)、(4)可以将各质点相对于质心的矢径表为:= F,F=--F(5) 我们可以利用(1)和(5)式把各粒子的矢径表为质心的矢径和相对矢径的线性组合 =Io+ m2-r 这样,两体运动就可以看成质心运动和相对运动的合成。上述过程也就是选择质心坐标和相对坐 标为广义坐标的过程 3.质点系的动量、角动量和动能均可表为质心的与相对于质心的两部分之和。质心部 分已经表为单粒子的物理量(见2.3.质点系的牛顿动力学方程3.其中:m,=m+m2), 相对于质心的部分,在两体问题的特殊情况下,也可以表为单粒子的物理量的形式 p=0,D=Pxm,T=∑m2=m2 其中:为相对运动的速度,m=m12为折合质量 m, +m, 4.势能的表达式可近似表为:P(元,)≈(c)+p() 后项(内力的势能)一般总能成立。重要的一类情况是中心势场G)=(),内力沿着 矢径产方向。而前项(外力的势能)的表达式往往只是近似成立,但当外场相对很弱,以致可以 忽略,总可认为此结论成立。此时,质心近似作惯性运动。只需研究相对运动部分。在内力 为中心势场的情况下,相对运动可以看成一个质量为折合质量的质点在中心势场中的运动。 (以上讨论见69页)这样,两体问题确实可以化为两个单粒子问题 5.两体问题的牛顿动力学方程:为简单起见,只考虑不受外力的情形:设内力 F=-F2=F=亓,其中=A(x,y-)为F的标量函数。牛顿动力学方程为: m1=AF=A(1-12)=F 2r=-1 (1)+(2)得m1+m2l2=mc=0(质心运动:匀速直线运动(3) (1) (2) 得mG)=m=F=F(相对运动)(4) 两体问题的牛顿动力学方程确实可化为两个单粒子问题的动力学方程(3)(4)。比较 (1)和(4),而1和F满足几乎相同的方程,差别只在于m1和m不同

9 由(2)可以得到 1 1 2 2 m r m r + = 0 （4） 由（3）、（4）可以将各质点相对于质心的矢径表为： 2 1 1 2 m r r m m = + ， 1 2 1 2 m r r m m = − + （5） 我们可以利用（1）和（5）式把各粒子的矢径表为质心的矢径和相对矢径的线性组合： 2 01 0 1 2 C m r r r m m = + + ， 1 02 0 1 2 C m r r r m m = − + （6） 这样，两体运动就可以看成质心运动和相对运动的合成。上述过程也就是选择质心坐标和相对坐 标为广义坐标的过程。 3．质点系的动量、角动量和动能均可表为质心的与相对于质心的两部分之和。质心部 分已经表为单粒子的物理量（见 2．3．质点系的牛顿动力学方程 3．其中： m m m s = +1 2 ）， 相对于质心的部分，在两体问题的特殊情况下，也可以表为单粒子的物理量的形式： p  = 0， L r m rr  =  ， 2 2 2 1 1 1 2 2 i i r i T m r m r =  = =  其中： r 为相对运动的速度， 1 2 1 2 r m m m m m = + 为折合质量。 4．势能的表达式可近似表为： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 , ( ) e i V r r V r V r  + C 后项（内力的势能）一般总能成立。重要的一类情况是中心势场 ( ) V (r) V(r) i =  ，内力沿着 矢径 r  方向。而前项(外力的势能)的表达式往往只是近似成立，但当外场相对很弱,以致可以 忽略，总可认为此结论成立。此时，质心近似作惯性运动。只需研究相对运动部分。在内力 为中心势场的情况下，相对运动可以看成一个质量为折合质量的质点在中心势场中的运动。 （以上讨论见 69 页）这样，两体问题确实可以化为两个单粒子问题。 5．两体问题的牛顿动力学方程：为简单起见，只考虑不受外力的情形：设内力 F F F r     1 = − 2  =  ，其中   = ( x y z , , ) 为 r 的标量函数。牛顿动力学方程为： ( ) ( ) 1 01 01 02 2 02 01 02 m r r r r F m r r r r F      = = − =   = − = − − = −  (1) (2) （1）+（2）得 1 01 2 02 0 0 m r m r m r + = = s C （质心运动：匀速直线运动）。 （3） （1） 2 1 2 m m m+ —（2） 1 1 2 m m m+ 得 m r r m r r F r r ( 01 02 − = = = )  （相对运动） （4） 两体问题的牛顿动力学方程确实可化为两个单粒子问题的动力学方程（3）（4）。比较 （1）和（4）， 01 r 和 r 满足几乎相同的方程，差别只在于 m1 和 mr 不同

(4)-m一或-m一得满足的方程 m, +m2 m==mF或m==-"F (相对于质心的运动)(5) 比较(4)和(5),我们发现,相对运动和相对于质心的运动所满足的动力学方程形式相似 是因为m=-m22=mF,F,石,之间只差一常系数。 比较(1)(2)和(5)发现和,(=1,2)满足相同的方程,这个结果只在没有外场 (因而bc=0)的条件下成立。 【思考】如果有外力场,以上各公式应如何修改? 如果两个粒子质量相差很大,例如:m2很大,且m2>m(相当于可视作m2 则质心C近似与粒子2重合,粒子2近似固定。可取粒子2所在之点为参考点O,则 c≈≈≈0,≈≈F,m1=m此时质心系和实验室系相同。比较(4)、(5)与(1) 可见,相对运动(或相对于质心的运动)部分与质点1的运动近似相同。此时只需研究粒子 1的运动即可(一个质点的动力学问题)。特别,在内力为中心势场的情况下,质点2只是 提供了一个中心势场。上述情况是物理上经常碰到的,这就是在2.2.中讨论的中心势场 中单粒子运动。 实际上,m2≠∞,粒子2不可能不动,当粒子2的运动不能忽略时,我们必须研究质 心的运动和相对运动(或相对于质心的运动)。(参阅教材§3.1.) 2.5.碰撞与散射 1.弹性碰撞: 碰撞(散射):两质点从相距∞处飞来,接近到小距离范围内才有显著相互作用,经很 短时间改变运动状态,向无穷远飞去。(这里所说的碰撞不限于两质点直接接触,例如:库 仑散射;这里无穷远是指比有显著相互作用的小距离范围的尺度大得多。例如:核力的作用 范围约为10-13米,那么数十厘米的距离完全可以认为是无穷远了。) 外场一般很弱,碰撞前后粒子均可视作自由粒子;在碰撞的短时间内,其影响也一般可 忽略。(例如:在重力场中的水平面内进行散射,重力的影响一般可忽略)。质心作匀速直线 运动,wc为常矢量,碰撞前后wc=c,因此动量和角动量都是守恒的。对弹性碰撞, 机械能也守恒。 弹性碰撞(弹性散射):每个粒子的内部状态不变(内能不变)。质点系的能量(包括动 能、势能和内能)总是守恒的,内能不变就有机械能守恒:在忽略外场条件下,碰撞前后又 是处于自由粒子状态,我们说弹性散射能量守恒实际上是指碰撞前后动能相等。(我们在此 不讨论非弹性散射)既然体系的初终态均为相距无穷远且作相互运动,总能量应大于无穷远 处的势能,即E>V(∞)。研究碰撞问题包括两个方面

10 （4） 2 1 2 m m m+ 或 1 1 2 m m m     −   + 得 i r 满足的方程： 1 1 1 r r m m r r F m = =  或 2 2 2 r r m m r r F m = = −  （相对于质心的运动） （5） 比较（4）和（5），我们发现，相对运动和相对于质心的运动所满足的动力学方程形式相似。 这是因为 m r m r m r 1 1 2 2 = − = r ， 1 2 r r r , , 之间只差一常系数。 比较（1）（2）和（5）发现 i r 和 0 ( 1,2) i r i = 满足相同的方程，这个结果只在没有外场 （因而 0 0) C r = 的条件下成立。 【思考】如果有外力场，以上各公式应如何修改？ 如果两个粒子质量相差很大，例如： m2 很大，且 m2  m1 （相当于可视作 m2 =  ）， 则质心 C 近似与粒子 2 重合，粒子 2 近似固定。可取粒子 2 所在之点为参考点 O ，则 0 02 2 01 1 0 , C r r r r r r      ，m m 1 = r 此时质心系和实验室系相同。比较（4）、（5）与（1） 可见，相对运动（或相对于质心的运动）部分与质点 1 的运动近似相同。此时只需研究粒子 1 的运动即可（一个质点的动力学问题）。特别，在内力为中心势场的情况下，质点 2 只是 提供了一个中心势场。上述情况是物理上经常碰到的，这就是在 2．2．中讨论的中心势场 中单粒子运动。 实际上， m2   ，粒子 2 不可能不动，当粒子 2 的运动不能忽略时，我们必须研究质 心的运动和相对运动（或相对于质心的运动）。（参阅教材§3．1．） 2．5．碰撞与散射 1． 弹性碰撞： 碰撞（散射）：两质点从相距  处飞来，接近到小距离范围内才有显著相互作用，经很 短时间改变运动状态，向无穷远飞去。（这里所说的碰撞不限于两质点直接接触，例如：库 仑散射；这里无穷远是指比有显著相互作用的小距离范围的尺度大得多。例如：核力的作用 范围约为 15 10− 米，那么数十厘米的距离完全可以认为是无穷远了。） 外场一般很弱，碰撞前后粒子均可视作自由粒子；在碰撞的短时间内，其影响也一般可 忽略。（例如；在重力场中的水平面内进行散射，重力的影响一般可忽略）。质心作匀速直线 运动， 0C v 为常矢量，碰撞前后 0 0 C C v v =  ，因此动量和角动量都是守恒的。对弹性碰撞， 机械能也守恒。 弹性碰撞（弹性散射）：每个粒子的内部状态不变（内能不变）。质点系的能量（包括动 能、势能和内能）总是守恒的，内能不变就有机械能守恒；在忽略外场条件下，碰撞前后又 是处于自由粒子状态，我们说弹性散射能量守恒实际上是指碰撞前后动能相等。（我们在此 不讨论非弹性散射）既然体系的初终态均为相距无穷远且作相互运动，总能量应大于无穷远 处的势能，即 E V ( )。研究碰撞问题包括两个方面：