第三章拉格朗日力学(上) (参阅教材第二章) 3.1.理想约束达朗伯原理达朗伯方程(动力学基本方程)(教材§2.1.) 1.虚位移和虚功的概念 为了系统地讨论处理未知约束力的比较方便的方法,我们引入虚位移和虚功的概念。先来看一个简单实 例:一个质点,质量为m,坐标为(x,y,z),已知的主动力F(x,y,=),受到曲面约束∫(x,y,,1)=0, 未知的约束力N(x,y=) mx-F-N=0 动力学方程为:{m-F1-N,=0 m2-F-N.=0 约束方程为:f(xy,=,)=0.包含六个未知函数x,y,N2,N,N2。在曲面光滑的情况下,未知的 约束力可表为N=Vf,于是六个未知函数归结为四个未知函数x,y,z,,由上述四个方程决定 在时间间隔d中,质点的位移为d(=d+d+k=成h),称为实位移。(由动力学方程唯一决定) F和产+F分别满足时刻t和t+dt的约束方程 f(x,y=,)=0 (x+dx,y+dy, :+d=, t+dr=0 a 从而a+dy+yd+dt=0 这是完整约束加在实位移上的条件 在某一时刻t,想象质点发生一个约束所允许的无限小位移。这个虚位移不是由t变化引起,而是满 足某一时刻t的约束条件的假想的位移(并不要求满足动力学方程,因而是不唯一的),所以称为虚位移 记为:o6F=xi+y+zk(虚位移用δ来记,以示其无限小)。(广义)坐标的虚位移也称为(广义) 坐标的变分(变更),变分的运算和微分相仿,例如6x=∑,但要注意=0,所以这种变分 也称为等时变分。F和产+δF均满足同一时刻t的约束方程 f(x,y,=,) s,可fxf f(x+6x,y+6y,z+6=,t)=0 a0=0 这是完整约束加在虚位移上的条件 比较完整约束加在虚、实位移上的条件,可知,在稳定约束情形下9=0,和6满足同样的 方程,稳定的完整约束下实位移是虚位移中的一个;不稳定的完整约束下实位移不同于虚位移中的任 个。由此可见,虚位移其实不是力学中的位移(不需要用动力学方程来决定),它所刻划的是约束曲面的 几何性质:全体虚位移组成了某一时刻约束曲面在某一点的切平面。而实位移仅当约束稳定时才位于约 束曲面的切平面内。 【例】:膨胀着的肥皂泡∫(xy,=,1)=x2+y2+=2-a2=0(不稳定完整约束)
1 第三章 拉格朗日力学 （上） （参阅教材第二章） 3．1．理想约束 达朗伯原理 达朗伯方程（动力学基本方程）（教材§2．1．） 1．虚位移和虚功的概念 为了系统地讨论处理未知约束力的比较方便的方法，我们引入虚位移和虚功的概念。先来看一个简单实 例：一个质点，质量为 m ，坐标为 (x, y,z) ，已知的主动力 F x y z ( , , ) ，受到曲面约束 f (x, y,z,t) = 0 ， 未知的约束力 N x y z ( , , ) 。 动力学方程为： 0 0 0 x x y y z z mx F N my F N mz F N − − = − − = − − = 约束方程为： f (x, y,z,t) = 0 . 包含六个未知函数 Nx Ny Nz x, y,z, , , 。在曲面光滑的情况下，未知的 约束力可表为 N f = ，于是六个未知函数归结为四个未知函数 x y z , , , ，由上述四个方程决定。 在时间间隔 dt 中，质点的位移为 dr (= + + = dxi dyj dzk rdt) ，称为实位移。（由动力学方程唯一决定） r 和 r dr + 分别满足时刻 t 和 t dt + 的约束方程 ( ) ( ) + + + + = = , , , 0 , , , 0 f x dx y dy z dz t dt f x y z t 从而 = 0 + + + dt t f dz z f dy y f dx x f 这是完整约束加在实位移上的条件。 在某一时刻 t, 想象质点发生一个约束所允许的无限小位移。这个虚位移不是由 t 变化引起，而是满 足某一时刻 t 的约束条件的假想的位移（并不要求满足动力学方程，因而是不唯一的），所以称为虚位移。 记为： r xi yj zk = + + （虚位移用 来记，以示其无限小）。（广义）坐标的虚位移也称为（广义） 坐标的变分（变更），变分的运算和微分相仿，例如： 1 n s s s x x q q = = 但要注意 t = 0. ，所以这种变分 也称为等时变分。 r 和 r r + 均满足同一时刻 t 的约束方程 ( ) ( ) , , , 0 , , , 0 f x y z t f x x y y z z t = + + + = 从而 0 f f f x y z x y z + + = 这是完整约束加在虚位移上的条件。 比较完整约束加在虚、实位移上的条件，可知，在稳定约束情形下 0 t f = ， i dr 和 i r 满足同样的 方程，稳定的完整约束下实位移是虚位移中的一个；不稳定的完整约束下实位移不同于虚位移中的任一 个。由此可见，虚位移其实不是力学中的位移（不需要用动力学方程来决定），它所刻划的是约束曲面的 几何性质：全体虚位移组成了某一时刻约束曲面在某一点的切平面。而实位移仅当约束稳定时才位于约 束曲面的切平面内。 【例】：膨胀着的肥皂泡 f ( ) 2 2 2 2 2 x y z t x y z a t , , , 0 = + + − = （不稳定完整约束）
t时刻质点位于S球面x2+y2+22-a2t2=0上的一点M0(x,y,z);1=1+d时刻质点位 于S球面x2+y2+22-a2t2=0上的一点M(x+,y+dh2+)。d是实位移。满足 f(x+d,y+d;z+,1+d)=(x+d)2+(y+b)+(=+)2-a2(+d)=0 相减得2xdx+2yy+2zd-2a2ub=0,即Vfd+dh=0 可f.可A,..可 af, af. af 2 另一点M。(x+6x,y+δyz+6=)在S球的切平面内距M0无限小。SF=M0M是虚位移 满足方程f·δ产=0,与稳定球面约束对实位移所加的限制相同。 综上所述,我们把实位移和虚位移这两个概念列表比较如下 实位移d 虚位移δF 在时间间隔dt真实发生的位移 在某一时刻想象发生的位移(ot=0) 满足约束方程v.d+am=0 满足约束方程f·or=0 并满足动力学方程 不要求满足动力学方程 唯一确定 不唯一(有无限多个) 力学中的概念(真实发生的位移) 几何学中的概念(刻画约束曲面的切平面) 以上讨论很容易推广到n个质点组成的质点系,动力学方程为 m=F+N 其中E为第i个质点所受主动力,N为第i个质点所受约束力 有k个完整约束fG…F,1)=0a=12,…k使独立的坐标数目减少k个。 完整约束加在实位移上的条件为∑VJ后的+9fn,_0a=12…k at 其中c还应满足动力学方程,是唯一确定的。完整约束加在虚位移上的条件为 V,J·δ=0a=1,2,…k使独立的坐标变分(虚位移)数目也减少了k个。由此可见,独 立的坐标的数目和独立的坐标的变分的数目是相等的 对于非完整体系,如果还有g个线性非完整约束 ∑(n)++9)+d=0B=12g
2 t 时刻质点位于 S 球面 2 2 2 2 2 x y z a t + + − = 0 上的一点 M0 ( , , ) x y z ； 1 t t dt = + 时刻质点位 于 1 S 球面 2 2 2 2 2 1 x y z a t + + − = 0 上的一点 M x dx y dy z dz 1 ( + + + , , ) 。dr 是实位移。满足 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 f x dx y dy z dz t dt x dx y dy z dz a t dt + + + + = + + + + + − + = , , , 0 相减得 2 2 2 2 2 0 xdx ydy zdz a tdt + + − = ，即 0 f f dr dt t + = 或 0 f f f f dx dy dz dt x y z t + + + = ， 即 0 f f f f x y z x y z t + + + = 另一点 M0 ( , , ) x x y y z z + + + 在 S 球的切平面内距 M0 无限小。 0 0 r M M = 是虚位移 满足方程 f r = 0 ，与稳定球面约束对实位移所加的限制相同。 综上所述，我们把实位移和虚位移这两个概念列表比较如下： 实位移 dr 虚位移 r 在时间间隔 dt 真实发生的位移 在某一时刻想象发生的位移 (t = 0) 满足约束方程 0 f f dr dt t + = 满足约束方程 = f r 0 并满足动力学方程 不要求满足动力学方程 唯一确定 不唯一（有无限多个） 力学中的概念（真实发生的位移） 几何学中的概念（刻画约束曲面的切平面） 以上讨论很容易推广到 n 个质点组成的质点系，动力学方程为： i i Fi Ni m r = ＋ 其中 Fi 为第 i 个质点所受主动力， Ni 为第 i 个质点所受约束力。 有 k 个完整约束 f (r1 , rn ,t) = 0 =1,2, k 使独立的坐标数目减少 k 个。 完整约束加在实位移上的条件为 0 1 = + = dt t f f dr n i i i =1,2, k 其中 i dr 还应满足动力学方程，是唯一确定的。完整约束加在虚位移上的条件为 1 0 n i i i f r = = ＝1，2，k 使独立的坐标变分（虚位移）数目也减少了 k 个。由此可见，独 立的坐标的数目和独立的坐标的变分的数目是相等的。 对于非完整体系， 如果还有 g 个线性非完整约束 ( ) 1 0 N i i i i i i i a x b y c z d = + + + = = 1,2, g
其中aB;,b;,CB;,d2均为坐标和时间的函数 线性非完整约束加在实位移上的条件是∑(am+bah+ca)+dd=0 把d改成δ并取δt=0,就得到线性非完整约束加在虚位移上的条件: ∑(an。bx+bby+cb=)=0 比较上两式可知,对于线性非完整约束,实位移是否与某一个虚位移相同,就看dp是否为零。也就 是约束方程对于速度是否齐次。几何约束加在虚、实位移上的条件和线性非完整约束具有相似的形式 (Pa∥形式)。不同点在于前者可以积分:后者不可积分,不能像完整约束那样对广义坐标加以限 制。因此,非完整约束使独立的坐标变分数目减少,而并不减少独立坐标的数目。 我们把力与虚位移的内积F·δF称为虚功,这是因为它与功的形式F·相仿,虽然虚功实际 上并不是功。虚功可以用来刻划约束和约束力的某些特点(参阅下节理想约束) 对于光滑曲面约束,约束力N应沿着曲面的法线方向(即f的方向)。但对于非稳定的光滑曲 面,约束力一般不与实位移垂直,∵C=8F+d其中:=d-6F是牵连位移,由于约束随时 间变化而引起的。即使质点“静止”,由于约束变化引起布∴N·d≠0,也就是说,即使曲面是光滑 约束力仍可能做功。然而无论稳定与否,只要约束曲面是光滑的,约束力与虚位移垂直,即N·δF=0 (光滑曲面约束力的虚功为零),这样,引入了虚位移和虚功的概念,就得到可能消去光滑曲面(无论 稳定与否)的约束力的一种途径 2.理想约束达朗贝尔原理达朗贝尔方程 我们来考虑一般的有完整约束的质点系。动力学方程为m=F+N1=1,2,…,n 约束方程(当然不限于曲面约束)为:f(,2…,,1)=0a=12,…k 对动力学方程移项,可得F+N-mF=0i=1,2,…,n(称为达朗贝尔原理) 如果约束力的虚功之和为零,即满足∑N6=0,(满足此条件的约束称为理想约束)则上述动力学 方程就可化为∑(F一m)=0这个方程称为达朗贝尔方程(或称为达朗贝尔一拉格朗日原理,又 称动力学基本方程)。显然,上述光滑曲面约束下单质点是理想约束的一个实例。我们回到图1.7的例 题,来看看达朗贝尔方程应如何写出 由于m1=m,m2=mF=0,F2=-mg,N1=-F,N2=Fk我们得到
3 其中 d a ,b ,c , i i i 均为坐标和时间的函数。 线性非完整约束加在实位移上的条件是 ( ) 1 0 N i i i i i i i a dx b dy c dz d dt = + + + = 把 d 改成 , 并取 t = 0 ，就得到线性非完整约束加在虚位移上的条件： ( ) 1 0 N i i i i i i i a x b y c z = + + = = 1,2, g 比较上两式可知，对于线性非完整约束，实位移是否与某一个虚位移相同，就看 d 是否为零。也就 是约束方程对于速度是否齐次。几何约束加在虚、实位移上的条件和线性非完整约束具有相似的形式 （ Pfaff 形式）。不同点在于前者可以积分；后者不可积分，不能像完整约束那样对广义坐标加以限 制。因此，非完整约束使独立的坐标变分数目减少，而并不减少独立坐标的数目。 我们把力与虚位移的内积 F r 称为虚功，这是因为它与功的形式 F dr 相仿，虽然虚功实际 上并不是功。虚功可以用来刻划约束和约束力的某些特点（参阅下节理想约束）。 对于光滑曲面约束，约束力 N 应沿着曲面的法线方向（即 f 的方向）。但对于非稳定的光滑曲 面，约束力一般不与实位移垂直， 1 dr r d r = + 其中： 1 dr dr r = − 是牵连位移，由于约束随时 间变化而引起的。即使质点“静止”，由于约束变化引起 1 dr N dr 0 ，也就是说，即使曲面是光滑 的，约束力仍可能做功。然而无论稳定与否，只要约束曲面是光滑的，约束力与虚位移垂直，即 N r = 0 （光滑曲面约束力的虚功为零），这样，引入了虚位移和虚功的概念，就得到可能消去光滑曲面（无论 稳定与否）的约束力的一种途径。 2．理想约束 达朗贝尔原理 达朗贝尔方程 我们来考虑一般的有完整约束的质点系。动力学方程为 m r F N i i i i = + i = 1,2, , n 约束方程（当然不限于曲面约束）为： f r r r t k ( 1 2 , , , , 0 1,2, n ) = = 对动力学方程移项，可得 0 F N m r i i i i + − = i = 1,2, , n （称为达朗贝尔原理） 如果约束力的虚功之和为零，即满足 0 i i i N r = ，（满足此条件的约束称为理想约束）则上述动力学 方程就可化为 ( ) 0 i i i i i F m r r − = 这个方程称为达朗贝尔方程（或称为达朗贝尔－拉格朗日原理，又 称动力学基本方程）。显然，上述光滑曲面约束下单质点是理想约束的一个实例。我们回到图 1．7 的例 题，来看看达朗贝尔方程应如何写出： 由于 1 2 1 2 1 2 , 0, , , m m m m F F m gk N F e N F k T r T = = = = − = − = 我们得到
m一F一N=[m(-)+月+m(R+2R)。6元=0x+6y=6R已+R ,F2-F2-N,=(mE-F +mg k r=szk 由达朗贝尔原理可得(m-F-N1)D+(m22-F2-N2)Cn2=0 [m(R-R)+F]6R+m(+2月)RC0+(m2-F+mg)5=0 利用z=R-1,一方面可消去不独立坐标z,另一方面由于 N1·+N2·O=-FδR+F6z=0说明这是理想约束,从而得到达朗贝尔方程 [(m+m)R一mR分2+mg]6R+m(R+2R)R=0 变分δR,oq完全独立,系数各自为零,就得到两个方程。(与牛顿动力学方程消去约束力以后的方程相 同,见33页(5)(6)式 为了正确掌握达朗贝尔方程的适用范围,我们需要知道:哪些约束满足理想约束的条件? ①光滑曲面约束 光滑曲线约束(可仿上法进行讨论) (质点和刚体光滑表面的接触也属于上两者) 质量可忽略的刚性杆链接的两质点(刚体内部的约束也是理想约東) ④刚体间以光滑表面或完全粗糙表面(无滑动)相接触 轻软不可伸长的绳 ⑥理想的铰链 综上所述,我们可以看到 ①.理想约束是光滑曲面约束,曲线约束的推广,但不限于此。如果质点间连接是刚性的,轻的(可 忽略质量);刚体间用理想铰链相联结:质点与刚体或刚体与刚体间以理想光滑表面,或完全粗糙表 面相接触(没有相对滑动),所受到的约束也是理想约東。因此理想约束涵盖了相当广泛的一大类(没 有摩擦或摩檫力不做功的)复杂的由质点和刚体组成的力学体系。(参阅参考资料4.) .引进虚功而不讨论实际的功,讨论理想约束时也可把不稳定约束包括在内。 ⑥.出现摩檫力做功不能忽略的情况时,可将摩檫力看作未知主动力,(通过其他关系求出)而约束 仍可认为是理想的。 但是,理想约束并不限于上述各种情况,在某些摩檫力做功的不稳定约束情形下,仍可能是理想约束 (例如参考资料3习题4.7.第173页)因此我们判断一个约束是不是理想约束,还是应该根据定义 即条件∑N,·D7=0 3.力学体系的自由度 般地说,如果质点系有n个质点,有k个完整约束,g个线性非完整约束,则应有(n-k)个独立 的广义坐标,③n-k-g)个独立的广义坐标的变分。我们把s=3n-k-g叫做这个力学体系的自 由度。也就是说,力学体系的自由度数就是独立的广义坐标的变分的数目。由于完整体系的独立广义 坐标的数目和独立广义坐标的变分的数目是相等的,因此完整力学体系的自由度数目就是独立的广义 坐标的数目3n-k 3.2.拉格朗日方程(教材§2.3.)
4 ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ( ) T r T m r F N m R R F e m R R e m r F N m z F m g k − − = − + + + − − = − + 1 2 r r xi yj R e R e r zk = + = + = 由达朗贝尔原理可得 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 m r F N r m r F N r − − + − − = 即 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 m R R F R m R R R m z F m g z T T − + + + + − + = 利用 z R l = − ，一方面可消去不独立坐标 z ，另一方面由于 1 1 2 2 0 N r N r F R F z T T + = − + = 说明这是理想约束，从而得到达朗贝尔方程 ( ) ( ) 2 m m R mR mg R m R R R + − + + + = 2 0 变分 R, 完全独立，系数各自为零，就得到两个方程。（与牛顿动力学方程消去约束力以后的方程相 同，见 33 页（5）（6）式） 为了正确掌握达朗贝尔方程的适用范围，我们需要知道：哪些约束满足理想约束的条件？ ○1 光滑曲面约束 ○2 光滑曲线约束（可仿上法进行讨论） （质点和刚体光滑表面的接触也属于上两者） ○3 质量可忽略的刚性杆链接的两质点（刚体内部的约束也是理想约束） ○4 刚体间以光滑表面或完全粗糙表面（无滑动）相接触 ○5 轻软不可伸长的绳 ○6 理想的铰链 综上所述，我们可以看到， ○1 ．理想约束是光滑曲面约束，曲线约束的推广，但不限于此。如果质点间连接是刚性的，轻的（可 忽略质量）；刚体间用理想铰链相联结；质点与刚体或刚体与刚体间以理想光滑表面，或完全粗糙表 面相接触（没有相对滑动），所受到的约束也是理想约束。因此理想约束涵盖了相当广泛的一大类（没 有摩擦或摩檫力不做功的）复杂的由质点和刚体组成的力学体系。（参阅参考资料 4．） ○2 ．引进虚功而不讨论实际的功，讨论理想约束时也可把不稳定约束包括在内。 ○3 ．出现摩檫力做功不能忽略的情况时，可将摩檫力看作未知主动力，（通过其他关系求出）而约束 仍可认为是理想的。 但是，理想约束并不限于上述各种情况，在某些摩檫力做功的不稳定约束情形下，仍可能是理想约束。 （例如参考资料 3 习题 4．7．第 173 页）因此我们判断一个约束是不是理想约束，还是应该根据定义， 即条件 0 i i i N r = 。 3．力学体系的自由度 一般地说，如果质点系有 n 个质点，有 k 个完整约束， g 个线性非完整约束，则应有 (3n − k) 个独立 的广义坐标，（3n − k − g） 个独立的广义坐标的变分。我们把 s = 3n − k − g 叫做这个力学体系的自 由度。也就是说，力学体系的自由度数就是独立的广义坐标的变分的数目。由于完整体系的独立广义 坐标的数目和独立广义坐标的变分的数目是相等的，因此完整力学体系的自由度数目就是独立的广义 坐标的数目 3n − k 。 3．2．拉格朗日方程（教材§2．3．）
1.第一类拉格朗日方程拉格朗日乘孑法(参阅参考资料1.§5.2第277页;参考资料4.§3) 2.(第二类)拉格朗日方程(基本形式的拉格朗日方程)的推导 为了方便地运用达朗贝尔方程,我们还需要用独立的广义坐标来表达。 从达朗贝尔方程∑(F-m)=0 出发,利用坐标变换(换为独立的广义坐标qn) 6q,得 F 中第一项∑F立 2FnQ称为对应于广义学标q,的广义力是主动力在红由广义学标构成的曲线坐标 系的)坐标曲线的切线方向上的投影之和(可能相差一个函数因子,其量纲也可能与力不同;因而广义力 可以不是力,例如:力矩也是一种广义力);第二项 ∑m ()+图]( 加速度乘以质量在对应的坐标曲线的切线方向上的投影之和(参阅第一章任意曲线坐标系)。其中 2分为动能。推导过程中运用了第一、第二两个经典拉格朗日关系 d arar av 代入达朗贝尔方程,得∑Q 由于ca是相互独立的(这里就用到了约束的完整性。如果有非完整约束,即使对于独立的广义坐标qn 其变分δq也不完全独立),就得理想、完整体系的普遍方程一一拉格朗日方程 d at aT a=1.2.…s dt aq aq 【思考】①为什么不能直接令达朗贝尔方程(1)中各项系数为零而能够令(2)式中各项系数为零? 对于直角坐标和平面极坐标分别讨论拉格朗日方程中(3)的各项的具体形式和它们的物理意义 3.拉格朗日方程的各种形式 (1)基本形式,daTa7 dt aq 这是理想、完整体系的普遍方程一一基本形式的拉格朗日方程 (2)保守系:如果主动力均为保守力F=-V(行2…元,1),则
5 1．第一类拉格朗日方程 拉格朗日乘子法（参阅参考资料 1．§5．2 第 277 页；参考资料 4．§3） 2．（第二类）拉格朗日方程 （基本形式的拉格朗日方程）的推导 为了方便地运用达朗贝尔方程，我们还需要用独立的广义坐标来表达。 从达朗贝尔方程 ( ) 1 0 n i i i i i F m r r = − = (1) 出发，利用坐标变换（换为独立的广义坐标 q ） 1 s i i r r q q = = 得 1 1 1 0 s n n i i i i i i i r r F m r q q q = = = − = 中第一项 Q q r F n i i i =1 称为对应于广义坐标 q 的广义力,是主动力在(由广义坐标构成的曲线坐标 系的)坐标曲线的切线方向上的投影之和（可能相差一个函数因子，其量纲也可能与力不同；因而广义力 可以不是力，例如：力矩也是一种广义力）；第二项 1 1 1 n n n i i i i i i i i i i i i i i i i r r r r r d d d d T T m r m r r m r r q dt q dt q dt q q dt q q = = = = − = − = − 是 加速度乘以质量在对应的坐标曲线的切线方向上的投影之和(参阅第一章任意曲线坐标系)。 其中 2 1 1 2 n i i i T m r = = 为动能。推导过程中运用了第一、第二两个经典拉格朗日关系 kkk v r r qqq = = 和 kkk d r r v dt q q q = = 代入达朗贝尔方程，得 1 0 s d T T Q q dt q q = − + = (2) 由于 q 是相互独立的（这里就用到了约束的完整性。如果有非完整约束，即使对于独立的广义坐标 q ， 其变分 q 也不完全独立），就得理想、完整体系的普遍方程－—拉格朗日方程： Q q T q T dt d = − = 1,2, ,s (3) 【思考】○1 .为什么不能直接令达朗贝尔方程(1)中各项系数为零而能够令(2)式中各项系数为零？ ○2 .对于直角坐标和平面极坐标分别讨论拉格朗日方程中(3)的各项的具体形式和它们的物理意义。 3．拉格朗日方程的各种形式 （1）基本形式： Q q T q T dt d = − = 1,2, ,s 这是理想、完整体系的普遍方程－—基本形式的拉格朗日方程 （2）保守系：如果主动力均为保守力 F V r r t i i i n = − ( , , , ) ，则
Qa=∑v 拉格朗日方程可改写为aa-a dana=0a=1,2,…,S(理想、完整、保守体系的拉格朗日方程) 其中L=T一V,称为拉格朗日函数 (3)保守力和非保守力并存的情形:如果主动力由保守力和非保守力两部份组成 Q +o 则拉格朗日方程可改写为aLaL Qa=1,2,…,s其中拉格朗日函数L=T-1 (4)广义有势力的情形:(见教材§2.5广义势能带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数) 拉格朗日方程的优点在于消去约東力,使问题简化。但这也成为其缺点所在,既消去了约束力,也 就无法求得约東力。为了求约束力,就要用第一类拉格朗日方程或其它方法 4.拉格朗日方程中各项的显式和物理意义 动能的显式:T=∑m 万=F(qn,1),i=12…m,a=1,2,…s,S=3m-l其中是完整约束的个数 ar 由于为q的一次式,T为的二次式(其齐次与否取决于坐标变换式=F(qn,)是否显含t) =∑m(++)=71+x+x=11(q)+(q1)+c(q) 这∑制,石,不=1Sm1(分别为4的齐二次式,齐次式和不含乌的 cn,B=∑m. ar: ar 式子,其中A=∑m 下面来看几个例子: 1)约束x2+y2-a2=0,约束稳定。总可用不显含t的坐标变换引入独立的广义坐标,例如: x=acos x=-a0sin8 T=ma2b2=T2不显含t,(完全稳定系统) y=asine y= ab cos0
6 q V q r Q V n i i i = − = − =1 ， 拉格朗日方程可改写为 = 0 − q L q L dt d = 1,2, ,s （理想、完整、保守体系的拉格朗日方程）， 其中 L T V = − ，称为拉格朗日函数。 （3）保守力和非保守力并存的情形： 如果主动力由保守力和非保守力两部份组成， Q q V Q + = − 则拉格朗日方程可改写为 Q q L q L dt d = − = 1,2, ,s 其中拉格朗日函数 L T V = − 。 （4）广义有势力的情形：（见教材§2．5.广义势能 带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数） 拉格朗日方程的优点在于消去约束力，使问题简化。但这也成为其缺点所在，既消去了约束力，也 就无法求得约束力。为了求约束力，就要用第一类拉格朗日方程或其它方法。 4．拉格朗日方程中各项的显式和物理意义 动能的显式： 1 1 2 n i i i T m r = = , r r q t i n s s n l i i = = = = − ( , , 1,2, , 1,2, , 3 ) 其中 l 是完整约束的个数 1 s i i i r r r q q t = = + 由于 i r 为 q 的一次式，T 为 q 的二次式（其齐次与否取决于坐标变换式 r r (q ,t) i i = 是否显含 t ） ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 0 1 , 1 1 1 , , , 2 2 2 n i i i i i T m x y z T T T A q t q q B q t q C q t = = + + = + + = + + 2 2 1 0 1 1 1 1 1 1 , , 2 2 s s s N i i i r T A q q T B q T m t = = = = = = = 分别为 q 的齐二次式，齐一次式和不含 q 的 式子，其中 2 1 1 1 , , n n n i i i i i i i i i i i r r r r r A m B m C m q q q t t = = = = = = 下面来看几个例子： 1）约束 0 2 2 2 x + y − a = ，约束稳定。总可用不显含 t 的坐标变换引入独立的广义坐标，例如： cos sin sin cos x a x a y a y a = = − = = 2 2 2 1 2 T ma T = = 不显含 t ，（完全稳定系统）
2)约束=tamo不稳定 =rcosot i=rcosot-orsinot y=rsinot l=isnot +arcos ot T="|2+o2r2,不显含t,包含T2,T两部分,称为半不稳定系统或者在广义坐标中的稳定系统。 3)约束(x- a cos@1)+(y- asino)-a2=0不稳定 x=a[ t+cos0]i=-aosinot+sine Ly=a[ ot+ ine] lj=a[ ocos 0l+0 cose] 7=n[2+doc(am-0)+ao3]显含t包含三部分。称为(完全)不稳定系统。 4)约束x2+y2[f()=0不稳定。(f()为t的已知函数) f(cose i=fcos0-fe sin 0 f(sine lj=jsin 0+fi cose 2+f显含r,包含T,两部分。也是(完全)不稳定系统的实例 【思考】对于稳定约束x2+y2-a2=0,也可用显含t的坐标变换引入独立的广义坐标,例如 G+)n(+f) =asn+f()]1=a(+)os+f) 7=m[2+2a)+a2]=72+7+7包含三部分,且一般说显含。特例,若=o,则 7=m[2+2alb+al]不显含,但仍包含三部分。 为q的一次式,其齐次与否取决于约束是否稳定”’,这种说法是否确切? 在势能与广义速度无关的情况下,L亦为q的二次式 【思考】在教材§2.5广义势能的情况下,上述结论应如何修改? 广义力的具体物理意义 ①以直角坐标为广义坐标。以一个质点为例:若q1=x则=A可F1=F广义力就是力 ⊙以平面极坐标()为义坐标。T=1m(2+ri) 想=O er=f e rF可见Q就是力,而Q是力矩 在中心力场的情况下F。=0,因此Q=0力矩为零
7 2）约束 tan t x y＝ 不稳定。 cos cos sin sin sin cos x r t x r t r t y r t y r t r t = = − = = + 2 2 2 2 r r m T = + ，不显含 t，包含 T2，T0 两部分，称为半不稳定系统或者在广义坐标中的稳定系统。 3）约束 ( ) ( ) 2 2 2 x a t y a t a − + − − = cos sin 0 不稳定 cos cos sin sin sin sin cos cos x a t x a t y a t y a t = + = − + = + = + ( ) 2 2 2 2 2 cos 2 m T a a t a = + − + ，显含 t，包含三部分。称为（完全）不稳定系统。 4）约束 ( ) 2 2 2 x y f t + − = 0 不稳定。（ f t( ) 为 t 的已知函数） ( ) ( ) = + = − = = sin cos cos sin sin cos y f f x f f y f t x f t 2 2 2 2 f f m T = + ，显含 t ，包含 2 0 T T, 两部分。也是（完全）不稳定系统的实例。 【思考】对于稳定约束 0 2 2 2 x + y − a = ，也可用显含 t 的坐标变换引入独立的广义坐标，例如： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + = − + + = + = + y a f f x a f f y a f t x a f t cos sin sin cos 2 1 0 2 2 2 2 2 2 2 a a f a f T T T m T = + + = + + 包含三部分，且一般说显含 t 。特例，若 f(t)=t，则 2 2 2 2 2 2 2 a a a m T = + + 不显含 t，但仍包含三部分。 ‘‘ i r 为 q 的一次式，其齐次与否取决于约束是否稳定’’，这种说法是否确切？ 在势能与广义速度无关的情况下， L 亦为 q 的二次式。 【思考】在教材§2．5.广义势能的情况下，上述结论应如何修改？ 广义力的具体物理意义： ○1 以直角坐标为广义坐标。以一个质点为例：若 q = x 1 则 Fx F i x r Q F = = = 1 广义力就是力。 ○2 以平面极坐标 (r, ) 为广义坐标。 ( ) 2 2 2 2 1 T = m r + r r r Fr F e r r Q F = = = F re rF r Q F = = = 可见 Qr 就是力，而 Q 是力矩。 在中心力场的情况下 F = 0 ，因此 Q = 0 力矩为零
关于拉格朗日方程的优越性和保守系概念的讨论。(41-43页可留待以后深入领会) 【例1】(43页)注意:所得拉格朗日方程就是33页图1。7例题的牛顿动力学方程在消去约束力和不独 立坐标以后得到的方程(5)和(6) 注意:比较33页图1。7例题的牛顿动力学方程、达朗贝尔方程和拉格朗日方程。注意它们的异同和联 【例2】(43页)(1)椭圆摆;讨论m=0和m→∞这两种特殊情况 (2)加弹簧的椭圆摆(假定弹簧是轻的,即不计及弹簧的动能):讨论m=0这种特殊情况 (3)滑块运动已知的椭圆摆(思考:相当于在滑块上加一个怎样的外力?) 【例3】一光滑杆在水平平面Oxy内以角速度O绕竖直轴O转动,一质点约束在杆上运动,t=0时 r=b,产=0,求质点的运动规则和杆的约束反作用力F 4页例题3由学生阅读 【例4】(45页)学生阅读。 【例5】拉格朗日陀螺(参阅教材§4.9.) 1.教材中,利用拉格朗日方程解拉格朗日陀螺,而利用欧拉动力学方程解欧拉陀螺。其实 这两种方法对这两个问题都是适用的。在2.11.中拉格朗日陀螺就是利用欧拉动力学方程解的 欧拉陀螺也可利用拉格朗日方程来解。重要的是,如果要用拉格朗日方程,可以把欧拉角作为 广义坐标,不能把ω-,O,O.作为广义速度。(如果把,,O,O.作为广义速度,那么广义坐标 是什么呢?)如果一定要把O2O,O2作为“广义速度”,那就要引入准速度和准坐标的概念 (参见参考资料3:191-199页) 2.由于拉格朗日函数不显含q,y,t,就得到三个守恒量。这样得到三个初积分,比利用欧 拉动力学方程要直截了当得多 3.有了三个初积分,并且能够对(9.9)积分,得(9。10),然后代入(9。4)得 L。- L, cos6 de 0 I sin2 8 [E-(0) -L cos0 ,sin[E'-Vo(O) 代入(9。5)也可类似处理。 根据三个初积分,分析三个欧拉角随时间变化的情况,就可定性地得到刚体的运动规律。 【思考】能否用拉格朗日函数求欧拉动力学方程?怎样求?(参考资料3:126页,191-199页) 【例6】在势能满足条件(G,)=P(玩c)+0()时,两体问题的拉格朗日函数也可表为两个单粒 子拉格朗日函数之和:L=L(c,kc)+L(,)L=Te-p(c)L=T-() 3.3.拉格朗日方程的解(见教材§2.7) 求解拉格朗日方程,也就是求这个由s个(=3m-k)二阶常微分方程构成的方程组的通解
8 关于拉格朗日方程的优越性和保守系概念的讨论。（41－43 页可留待以后深入领会） 【例 1】（43 页）注意：所得拉格朗日方程就是 33 页图 1。7 例题的牛顿动力学方程在消去约束力和不独 立坐标以后得到的方程（5）和（6）。 注意：比较 33 页图 1。7 例题的牛顿动力学方程、达朗贝尔方程和拉格朗日方程。注意它们的异同和联 系。 【例 2】（43 页）(1)椭圆摆；讨论 m = 0 和 m → 这两种特殊情况 (2)加弹簧的椭圆摆(假定弹簧是轻的，即不计及弹簧的动能)；讨论 m = 0 这种特殊情况 (3)滑块运动已知的椭圆摆（思考：相当于在滑块上加一个怎样的外力？） 【例 3】一光滑杆在水平平面 Oxy 内以角速度 绕竖直轴 Oz 转动，一质点约束在杆上运动， t = 0 时， r b r = = , 0 ，求质点的运动规则和杆的约束反作用力 FN 44 页例题 3 由学生阅读。 【例 4】（45 页）学生阅读。 【例 5】拉格朗日陀螺（参阅教材§4．9．） 1．教材中，利用拉格朗日方程解拉格朗日陀螺，而利用欧拉动力学方程解欧拉陀螺。其实， 这两种方法对这两个问题都是适用的。在 2．11．中拉格朗日陀螺就是利用欧拉动力学方程解的， 欧拉陀螺也可利用拉格朗日方程来解。重要的是，如果要用拉格朗日方程，可以把欧拉角作为 广义坐标，不能把 , , x y z 作为广义速度。（如果把 , , x y z 作为广义速度，那么广义坐标 是什么呢？）如果一定要把 , , x y z 作为“广义速度”，那就要引入准速度和准坐标的概念。 （参见参考资料 3：191—199 页） 2．由于拉格朗日函数不显含 , ,t ，就得到三个守恒量。这样得到三个初积分，比利用欧 拉动力学方程要直截了当得多。 3．有了三个初积分，并且能够对(9.9)积分，得（9。10），然后代入（9。4）得 ( ) 3 2 1 1 cos 1 sin 2 e k eff d L L d I E V I − = = − ( ) 3 2 1 1 cos 2 sin e k eff L L d I E V I − = − 代入（9。5）也可类似处理。 根据三个初积分，分析三个欧拉角随时间变化的情况，就可定性地得到刚体的运动规律。 【思考】能否用拉格朗日函数求欧拉动力学方程？怎样求？(参考资料 3：126 页,191-199 页) 【例 6】在势能满足条件 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 , ( ) e i V r r V r V r + C 时，两体问题的拉格朗日函数也可表为两个单粒 子拉格朗日函数之和： L L r r L r r = + C C C ( 0 0 , , ) ( ) ( ) ( 0 ) e L T V r C C C = − ( ) ( ) i L T V r = − 3．3．拉格朗日方程的解（见教材§2．7.） 求解拉格朗日方程，也就是求这个由 s 个 (s = 3n − k) 二阶常微分方程构成的方程组的通解
qn=qn(C1,C2…,C2)a=1,2,…,s 其中含有2s个积分常数 1.利用拉格朗日方程的显式,直接积分。(前面我们就是这么做的) 从拉格朗日方程解出可,总可表示为 qa=f B=12 (2) 对方程组(2)式积分,可得通解(1)。由于拉格朗日方程的显式,和消去未知约束力之后用独立的广义 坐标表达的牛顿动力学方程往往没有本质的差别,这种解法和求解牛顿动力学方程往往差别不大 2.利用运动积分 qn,qa的某种函数在运动过程中保持不变。事实上,由(1)对t求导可以得到 qn=q、(,C,C2…,C2,) 1,2, (3) 由(1)和(3)消去1,得到(2s-1)个方程,若拉格朗日方程不显含1,则(1)式具有时间平移不变性, 因而总可表为(2s个常数重新组合,使一个积分常数和时间结合在一起) qa=qa(t-C2s, Cl, C2 C2s-1)=q(t-to, C1, C2,.C2s-1 消去t时同时消去这个常数。于是可解得(2-1)个独立的运动积分 Ck=C(q,q)k=12,…2s-1 它们是拉格朗日方程的初积分。也就是说,(4)式可由(2)积分得到。或者说,求(4)式的全导数 aC q 用(1),(2),(3)式代入,将恒等于0。下面是两个最容易得到的运动积分 1).如果。=0(L不依赖qn’q称为循环坐标)则=0。从而=cons.(5 dt aq (5)式称为循环积分,是 Lagrange方程的一个第一积分,其物理意义是广义动量守恒(以后我们把 cn称为与q共轭的广义动量)。如果拉格朗日函数是q的二次式,广义动量P为的一次式。 2).如果 aL 0(L不显含t) 则得H=∑a.-L=∑n9-L=cm(证明见教材56页) (6) 我们来分析一下H的物理意义。我们知道,动能是广义速度的二次式,如果V不显含q
9 ( ) C C C s q q t 1 2 2 , , , , = = 1,2, ,s （1） 其中含有 2s 个积分常数。 1．利用拉格朗日方程的显式，直接积分。（前面我们就是这么做的） 从拉格朗日方程解出 q ，总可表示为 q f q q t = ( , , ) ，, = 1,2, ,s （2） 对方程组（2）式积分，可得通解（1）。由于拉格朗日方程的显式，和消去未知约束力之后用独立的广义 坐标表达的牛顿动力学方程往往没有本质的差别，这种解法和求解牛顿动力学方程往往差别不大。 2．利用运动积分 q q , 的某种函数在运动过程中保持不变。事实上，由（1）对 t 求导可以得到 ( ) C C C s q q t 1 2 2 , , , , = = 1,2, ,s (3) 由（1）和（3）消去 t ，得到 (2s −1) 个方程，若拉格朗日方程不显含 t ，则（1）式具有时间平移不变性， 因而总可表为（ 2s 个常数重新组合，使一个积分常数和时间结合在一起） q q t C C C C q t t C C C = − = − ( 2 1 2 2 1 0 1 2 2 1 s s s , , , , , , − − ) ( ) （1’） 消去 t 时同时消去这个常数。于是可解得 (2s −1) 个独立的运动积分 Ck = Ck (q,q ) k =1,2, ,2s −1 （4） 它们是拉格朗日方程的初积分。也就是说，（4）式可由（2）积分得到。或者说，求（4）式的全导数 = = + = s k s k k q q C q q C dt dC 1 1 用（1），（2），（3）式代入，将恒等于 0。下面是两个最容易得到的运动积分： 1）．如果 = 0 q L （ L 不依赖 q ， q 称为循环坐标）则 0 d L dt q = 。从而 const. q L = （5） (5)式称为循环积分,是 Lagrange 方程的一个第一积分，其物理意义是广义动量守恒（以后我们把 L p q = 称为与 q 共轭的广义动量）。如果拉格朗日函数是 q 的二次式，广义动量 p 为 q 的一次式。 2）．如果 = 0 t L （L 不显含 t） 则得 1 1 s s L H q L p q L const q = = = − = − = （证明见教材 56 页） （6） 我们来分析一下 H 的物理意义。我们知道，动能是广义速度的二次式，如果 V 不显含 q
H-一立4一题+立题+-(++-) =272+7-(72+7+7-)=72-+V= const (这里用到齐次函数的E山e定理:若f为x的齐m次函数,则有y可x=mf。参阅教材57页) 在稳定约束的情况下,=0,7=72,70=0得H=T+1= const..(6) (6)代表能量守恒。在约束不稳定,但仍有a2=0的情况下,(6)称为广义能量守恒 【思考】对广义有势力,以上讨论应如何修改? 3.4.静力学问题虚功原理:(见教材§2.4拉格朗日方程对平衡问题的应用) 推导拉格朗日方程的过程中,每一步都有静力学的对应 动 牛顿方程m=F+M,=1,2…n 平衡方程0=F+N,1=12,…n 达朗贝尔原理F+N1-m1=0,i=1,2…,n (同上) 达朗尔方程∑(F一m)6元=0(理想约束)虚功原理∑F6=0(理想约束) (又称动力学虚功原理) (又称静力学虚功原理) 改用完全独立的广义坐标,得拉格朗日方程 改用完全独立的广义坐标,得 c改=a=12 0=0 a=1, 对于保系4a-2=0a=12…,对于保守系=0 【例1】(46页)在此前补一个预备例题:只含一根杆的情形 【例2】(47页) 【例3】(48页)本题要求约束力。必须AB间的约束解除,把所要求的约束力视作未知的主动力。坐标 原点可以选在O点,但不能选C,A,B点(在考虑虚位移时,这些都不是固定点)
10 ( ) 2 1 0 2 1 0 1 1 1 1 1 s s s s s L T T T T H q L q L q q q T T T V q q q q q = = = = = = − = − = + + − + + − = + − + + − = − + = 2T T T T T V T T V const 2 1 2 1 0 2 0 ( ) （6 ） （这里用到齐次函数的 Euler 定理：`若 f 为 xi 的齐 m 次函数，则有 x mf x f i i i = 。参阅教材 57 页） 在稳定约束的情况下， = 0 t ri ， 2 0 T T T = = , 0 得 H T V const = + = . （6 ） （6 ）代表能量守恒。在约束不稳定，但仍有 = 0 t L 的情况下，（6 ）称为广义能量守恒。 【思考】对广义有势力，以上讨论应如何修改？ 3．4．静力学问题 虚功原理：（见教材§2．4.拉格朗日方程对平衡问题的应用） 推导拉格朗日方程的过程中，每一步都有静力学的对应。 动力学 静力学 牛顿方程 , 1,2, , m r F N i n i i i i = + = 平衡方程 0 , 1,2, , = + = F N i n i i 达朗贝尔原理 0, 1,2, , F N m r i n i i i i + − = = （同上） 达朗贝尔方程 ( ) 1 0 n i i i i i F m r r = − = （理想约束） 虚功原理 1 0 n i i i F r = = （理想约束） （又称动力学虚功原理） （又称静力学虚功原理） 改用完全独立的广义坐标，得拉格朗日方程： 改用完全独立的广义坐标，得 d T T Q dt q q − = = 1,2, ,s Q q r F n i i i =1 ＝0 = 1, ,s 对于保守系 0 d L L dt q q − = = 1,2, ,s 对于保守系 0 V q = = 1, ,s 【例 1】（46 页）在此前补一个预备例题：只含一根杆的情形。 【例 2】（47 页） 【例 3】（48 页）本题要求约束力。必须 AB 间的约束解除，把所要求的约束力视作未知的主动力。坐标 原点可以选在 O 点，但不能选 C A B , , 点（在考虑虚位移时，这些都不是固定点）
