《分析力学》课程教学资源（电子教案）第六章小振动.pdf_大学文库

第六章小振动 6.1.振动的分类和线性振动的概念(参阅教材§6.1) 引言振动的分类(从能量的角度;从微分方程的类型;从自由度的数目) 衡位置的概念及其分类(稳定、不稳定和随遇)。对振动问题有实际意义的是稳定平衡位置保守体系平衡位置稳定性的拉格朗日定理(勒襄一狄里赫里定理) 平衡位置的不稳定性准则(拉格朗日定理的逆问题)(迄今尚未完全解决) 微振动意即振幅很小,若平衡位置选为原点,则振动的坐标的绝对值很小。(我们往往假定振动的速度的绝对值也很小,且为同级小量。) 2.一个自由度保守体系的自由微振动的数学处理(查阅数学教材) 我们首先考虑水平直线上在一端固定的弹簧的作用下的质点的运动 T=mx2,V=kx2,L=m2-kx2得能量积分E=mx2+kx2 (这里要求振幅足够小,以保证在弹性限度内。) 拉格朗日方程:m+kx=0即x+2x=0,其中:O2=k/m这是简谐振动。简谐振动的解为x=Asn(ot+a),A,a为积分常数,由初始条件决定事实上,能量积分:E=mfb,12E Oym,,A由能量确定,a由振动的初位相确定。考虑一般的保守体系的势能函数(坐标原点选在平衡位置),可以展开为级数 (x)=V+a1x+a2x2+a2x3+……常数项只影响势能的零点能量,一次项提供一个恒力, 只使平衡位置发生平移,对振动无本质影响对微振动,高阶项相对很小;均可略去。因而微振动的势能近似为二次项,动力学方程为线性方程 (简谐振动)。例如:单摆的振动,在振幅很小的情况下,是简谐振动。 3.考虑一般的完整,稳定,保守的力学体系在稳定平衡位置附近作微振动(坐标原点选在平衡位置),其动能可以表为广义速度的齐二次式(且各项系数均为常数);其势能可以表为广义坐标的齐二次式(各项系数也是常数)。动力学方程为线性方程(简谐振动)。教材174-180页讨论了两个自由度的情形,推广到有限多个自由度的情形也不困难【思考】159页例2第(2)解法,如果作微振动,情况如何? 6.1.两个自由度保守体系的自由振动(参阅教材§6.2.) 1.先看一个实例(教材178页例1):双单摆取1,62为广义坐标,通过拉格朗日函数得到动力学方程:(也可利用牛顿动力学方程) ①根据能量守恒,Es1 kx2:因此作微振动时文也是小量,而且我们可以假定,文和x 是同阶的小量在动能只保留到二次项的情况下,各项系数只保留零次项,即常数

第六章小振动 6．1．振动的分类和线性振动的概念（参阅教材§6. 1.） 1．引言振动的分类（从能量的角度；从微分方程的类型；从自由度的数目）平衡位置的概念及其分类（稳定、不稳定和随遇）。对振动问题有实际意义的是稳定平衡位置保守体系平衡位置稳定性的拉格朗日定理（勒襄—狄里赫里定理）平衡位置的不稳定性准则（拉格朗日定理的逆问题）（迄今尚未完全解决）微振动意即振幅很小，若平衡位置选为原点，则振动的坐标的绝对值很小。(我们往往假定振动的速度的绝对值也很小，且为同级小量①。) 2．一个自由度保守体系的自由微振动的数学处理（查阅数学教材）我们首先考虑水平直线上在一端固定的弹簧的作用下的质点的运动： 1 2 2 T mx = , 1 2 2 V kx = , 1 1 2 2 2 2 L = − mx kx 得能量积分 1 1 2 2 2 2 E = + mx kx （这里要求振幅足够小，以保证在弹性限度内。）拉格朗日方程： mx kx + = 0 即 2 x x +ω = 0 , 其中：这是简谐振动。 2 ω = k m/ 简谐振动的解为 xA t = + sin ( ) ω α , A,α 为积分常数，由初始条件决定。事实上，能量积分： 1 2 2 2 E mA = ω , 1 2E A ω m = , A 由能量确定，α 由振动的初位相确定。考虑一般的保守体系的势能函数（坐标原点选在平衡位置），可以展开为级数 )( 210 2 3 xaxaxaVxV 3 ++++= "" 常数项只影响势能的零点能量，一次项提供一个恒力，只使平衡位置发生平移，对振动无本质影响；对微振动，高阶项相对很小；均可略去。因而微振动的势能近似为二次项，动力学方程为线性方程（简谐振动）。例如：单摆的振动，在振幅很小的情况下，是简谐振动。 3．考虑一般的完整，稳定，保守的力学体系在稳定平衡位置附近作微振动（坐标原点选在平衡位置），其动能可以表为广义速度的齐二次式（且各项系数均为常数②）；其势能可以表为广义坐标的齐二次式（各项系数也是常数）。动力学方程为线性方程（简谐振动）。教材 174—180 页讨论了两个自由度的情形，推广到有限多个自由度的情形也不困难。【思考】159 页例 2 第（2）解法，如果作微振动，情况如何？ 6．1．两个自由度保守体系的自由振动（参阅教材§6. 2.） 1．先看一个实例（教材 178 页例 1）：双单摆。取 1 2 θ ,θ 为广义坐标，通过拉格朗日函数得到动力学方程：（也可利用牛顿动力学方程） ①根据能量守恒， 2 max max 1 1 2 2 E mx kx = = 2 ；因此作微振动时 x 也是小量，而且我们可以假定， x 和 x 是同阶的小量。 ②在动能只保留到二次项的情况下，各项系数只保留零次项，即常数。 1

以上还有一种情况未考虑进去，就是 12 12 22 22 11 11 a b a b a b == = λ ，此时 ( ) 2 , 1 1 2 ij i j i j i j L a xx x λ = = − ∑ x ( ) 2 1 0 ij j j j ax x λ = ∑ + = 久期方程 ( ) ( )( ) 2 2 2 2 11 22 12 f aa a ω ω = − − λ = 0 2 ω 有两个相等的实根， 2 2 ω1 2 = = ω λ ∴ω1 2 = ≡= ω ω λ 。这时得到的 μ 值均为 0 0 ，可为任意值，这样可得到解 ⎩ ⎨ ⎧ +⋅= +⋅= sin( ) sin( ) 22 2 11 1 αω αω tAx tAx 依然有四个积分常数 1212 A A,,, α α 由初条件确定。 3．上述方法推广到 n 个自由度保守体系，并无原则上的困难。（见教材§6。3） 6．3．简正坐标和简正振动：（见教材§6. 4.） 1．如果能找到一组广义坐标，使得力学体系的动能是带有正系数的广义速度的平方项之和，势能是带有正系数的广义坐标的平方项之和，（均没有交叉项）那么拉格朗日函数就可表示为一个自由度的拉格朗日函数之和，每个拉格朗日方程就只含一个自由度的广义坐标和广义速度。对这样的方程实际上可以直接写出解来。这样的广义坐标叫做简正坐标。因此多自由度体系微振动问题的求解就归结为寻找简正坐标的问题。数学上，寻找简正坐标，就是把两个矩阵同时对角化，或把两个二次式同时化为平方和。我们还是先看一个实例，（178 页例 1）。引进一组新的广义坐标 21,qq ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ −= += 12 2 11 2 21 21 θθ θθ q q ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ −= += 2/ 2/ 212 211 qq qq θ θ 由此可得 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ −+ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 mlT q q ( ) 2 2 2 1 2 1 = + qqmglV 得到拉格朗日方程 ( ) ⎪ ( ) ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =−+ 022 022 2 2 1 1 q l g q q l g q 解得 ( ) ( ) ⎩ ⎨ ⎧ +⋅= +⋅= 22 2 2 1111 sin sin αω αω tAq tAq 其中 ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 g l g l ω ω ⎧ = − ⎪⎪ ⎨ ⎪ = + ⎪⎩ 从而得原来的广义坐标的通解：（和 179 页结果相同只相差一个无足轻重的公共常系数） 1 2 1 11 2 1 2 2 11 2 sin( ) sin( ) 2 2 sin( ) sin( ) 2 2 A A t t A A t t 2 2 θ ωα ωα θ ωα ωα ⎧ = ⋅+ + ⋅+ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⋅+ − ⋅+ ⎪⎩ 4

由此可见，用了广义坐标；都可表为广义坐标或其导数的平方和的形式，拉格朗日方程中各广义坐标互不关联，因而解可以直接写出。就称为简正坐标。问题是：如何找简正坐标？ 1 2 q q, T V, 21,qq 2．第一种方法：利用线性代数的方法。事实上， ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 21 2 11 12 2 1 θ θ θθ mlT ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 21 10 02 2 1 θ θ mglV θθ 寻找简正坐标，把二次型化为平方和，就是把上述两个矩阵同时化为对角型采用线性变换 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 2 1 2/11 2/11 θ θ q q ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2 1 2 1 2/12/1 2/12/1 q q θ θ ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 1 21 2 2 1 21 2 2/110 02/11 2 1 2/12/1 2/12/1 11 12 2/12/1 2/12/1 2 1 q q qqml q q qqmlT ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 1 21 2 1 21 10 01 2 1 2/12/1 2/12/1 10 02 2/12/1 2/12/1 2 1 q q qqmgl q q qqmglV 对于拉格朗日方程组，矩阵形式为 0 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + θ θ l g dt d dt d dt d l g dt d 把θ 转换为，引入了一个矩阵，再左乘这个矩阵的转置，得 q ( ) 0 2/12/1 2/12/1 / // ///2 2/12/1 2/12/1 2 1 22 22 22 22 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − q q lgdtddtd dtdlgdtd 即 0 2 1 0 1 0 2 1 1 2 1 2 2 2 2 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + q q l g dt d l g dt d 这就是教材 183 页式 ( 4.4 ) 处理一般情况的系统数学方法，可参阅教材§6。5（187－192 页）：第一步，利用正交矩阵，先将其中一个矩阵对角化；第二步，再将另一个矩阵对角化，同时保持第一个矩阵为对角形式。由于这两个矩阵都是实对称的，这样做总是可能的。证明可查阅线性代数的有关教材。 3．第二种方法：待定系数法。（见教材 186 页）在两个自由度的情况下，这是很方便的。还是来看 178 页例 1。寻找简正坐标，即寻找把θ 转换为的矩阵， q 5

只要设 11 2 2 1 q q 2 θ αθ θ βθ ⎧ = + ⎨ ⎩ = + 可解得 21 1 1 2 , q q qq α β 2 θ θ α β α β − − = = − − 代入 ( ) ( ) 222 1 2 12 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 T ml V mgl θ θ θθ θ θ ⎧ = ++ ⎪⎪ ⎨ ⎪ = + ⎪⎩ 得 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 22 2 2 2 2 1 2 222 2 2 12 1 2 1 2 21 2 21 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 1 2 T ml q q V mglq q q q β β α α α β αβ α β βα αβ α β ⎧ = − ⎡ ⎤ + + − + + + − ⎪ ⎣ ⎦ ⎪ − ⎨ ⎪ = + ⎡ ⎤ + + − + ⎪ ⎣ ⎦ − ⎩ 1 2 − q q 0 为了使交叉项系数为零解得 2 1 2 10 α β αβ αβ ⎧ + − −= ⎨ ⎩ + = 1 2 α β =− = 即 1 1 2 1 1 2 1 2 q q 2 2 θ θ θ θ ⎧ = + ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = − ⎪⎩ ( ) 2 2 1 2 2 2 1 2 11 1 1 1 2 2 2 1 2 T ml q q V mgl q q ⎧ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎪ = + +− ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎪ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎨ ⎪ = + ⎪⎩ 2 待定系数法，其实就是利用解方程组求坐标变换矩阵的矩阵元。这种方法推广到三个或更多个自由度的情况，是直截了当的，但工作量增加很快，因此并不方便。 4．第三种方法是：根据简正坐标的物理意义，对体系进行分析，凭物理直觉“猜测” 简正坐标。这种方法在 6．5．进行介绍。（见教材§6. 7） 5．简正坐标的物理意义： ω 的一个本征值（本征频率）刻划了体系的一个振动模式，称为本征振动或简正振动。体系可以按某个本征频率振动（简正振动），也可以是若干个简正振动的线性叠加。初条件可以决定体系的振动模式。（见 184－185 页） 6．4．一维晶格的纵振动（见教材§6. 6.）本节内容应和§6。2【例 2】，（ N = 3 一维晶格的纵向振动）；§6。3【例】（181---182 页）（一维晶格的横向振动）结合起来阅读。 N = 4 这里“一维”是指沿直线分布的晶格，“纵振动”是指振动方向沿晶格分布的方向沿晶格建立 x 轴，以质点 0 为原点，指向第个质点为正向。第个质点的坐标 n n 0 n n n x = + x u n N = 0,1," ；共 N +1个质点 0 n x = na 为平衡位置的坐标，为偏离平衡位置的位移（以偏向正 x 的方向为正）。 0 n n u xx = − n 假定晶格只受相邻晶格的作用力：第 n 个质点所受作用力在 x 轴上的投影， (n 1 1 ) ( ) FF F nn n + n− = + 其中 ( ) [ ] 1 1 n F Ku u n n + =− − n+ 为第（n+1）个质点对第 n 个质点作用力在 x 轴上的投影 6

( ) [ ] 1 1 n F Ku u n n − =− − n− 为第（n－1）个质点对第 n 个质点作用力在 x 轴上的投影 Fn 为有势力， n n V F u ∂ = − ∂ ，假定两端晶格固定： 0 0 N u u = = ， ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 11 1 0 1 1 1 2 2 N N n n nn N n n V Ku u Ku u u u − − + = = ⎡ ⎤ = −= + −+ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ∑ + −1 2 于是得动力学方程： ( ) ( ) ( ) 11 2 1 1 1 11 2 1 2 1 2 2,3, 2 1 nn n n n NN N N mu F K u u n mu F K u u u n N mu F K u u n N + − −− − − ⎧ == − = ⎪ ⎨ == + − = − ⎪ = = − =− ⎩ " N = 4：181 页§6. 3.【例】横向振动； N = 3 ：179 页§6. 2.【例 2】 6．5．多原子分子的振动（见教材§6. 7.） 1．多原子分子的自由度：多原子分子为由 n 个原子（看成质点）组成的质点系，若质点静止于各自的平衡位置，整个分子可看成一个刚体。但实际上各原子在平衡位置附近作微振动。因此整个质点系的运动可以分解为整体（看成刚体）的运动和各质点微振动的叠加。 n 原子分子的个自由度中，平动自由度 3 个；转动自由度 3 个（线型分子为 2 个）；其余个为振动自由度（线型分子为 3n (3 6 n − ) (3 5 n − )个）。以下我们不考虑平动和转动，只考虑振动。也不影响分子在空间的趋向；不改变分子的总动量，也不改变分子的总角动量。 2．第α 个原子的位置矢量 0 rr u α = α + α GG G ，其中 0 r α G 对应于平衡位置，uα G 表示偏离平衡位置的位移。既然不考虑平动，应有分子的总动量为零： 0 0 P m r m r m u mr αα αα α α s c αα α = ∑ = += ∑ ∑ = G G G GG 且各原子的平衡位置不变， 0 r 0 α = G ，从而有 0 cr = G （质心保持静止），（振动的总动量为零），积分得 m u 0 α α α ∑ = G 0 r α G ，，cr G m uα α α ∑ G ， m r α α α ∑ G 均为常矢量。由质心的定义，有，考虑到振动是在内力作用下进行，不影响质心的位置，有，所以就有 m r m r mr α α 0 α c s α α ∑ ∑= ⋅= G G c G c G m r m r mu m r mr αα αα 0 α α α c s αα α α ∑∑ ∑ ∑ = + = ⋅= GG G G m u 0 α α α ∑ = G 。既然不考虑转动，总角动量为零 ( ) 0 00 0 ( ) 0 d L r mr r u m r u r mu r mu dt α αα α α α α α α α α α α α α α α α = × = +× + ≈ × = × = ∑∑ ∑ ∑ G G G GG GG G G G G （以上计算中已经略去了二阶小量）积分得 0 l r mu C α αα α ∑ × = G G G 此结论当没有振动（）时也成立，因此 u 0 α ≡ G 0 Cl = G ，于是得 0 r mu 0 α αα α ∑ × = G G 7

这两个方程 m uα α 0 ， α ∑ = G 0 r mu 0 α αα α ∑ × = G G 是动力学微分方程的积分，（对动量守恒和角动量守恒再积分得到的结果），不是原来意义下的约束，但是我们可以把它们视为约束方程而使问题得到简化，这是对约束概念的推广。 3．实例：【例 1】线型三原子对称分子 ABA。纵向轴；横向轴 OX OY OZ ; 不考虑平动和转动，分子中振动的动能和势能分别为： 2 22 2 2 2 2 22 1 11 3 33 2 22 1 1 2 2 T mx y z x y z mx y z A B = ++++ + + + + ⎡ ⎤ ⎡ ⎣ ⎦ ⎣ ⎤ ⎦ ( )( ) ( )( 2 2 2 112 23 2 1 3 2 13 2 1 1 2 2 2 2 V kxx xx k yy y zz z = − + − + +− + +− ⎡ ⎤ ⎡ ⎣ ⎦ ⎣ ) 2 ⎤ ⎦ k 其中九个坐标为振动位移的分量：u x i yj z αα α α =++ G G G G 势能中，前项表示纵向伸长缩短的势能，后项表示横向扭曲的势能。(实际上，无论是伸缩，还是扭曲，势能都要比上式复杂得多，只是在微振动的情况下才能近似表为二次式。)其中 9 个坐标应满足约束： m u 0 α α α ∑ = G ： ( ) 13 2 0 m x x mx A B + + = ； ( 13 2 ) 0 m y y my A B + + = ； ( ) 13 2 0 m z z mz A B ++ = ( ) ( ) ( ) 3 0 1 1 1 3 3 1 0 m r u m li x i y j z k m li x i y j z k αα α A A α= = ×= × + + + −× + + ∑ 3 G GG G GG G G G G ml z z j y y k A ( )( ) 31 1 3 = − +− ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ G G 即 1 3 y = y ； 1 3 z z = 共 5 个约束，自由度 s n = −= 3 5 4 选广义坐标： q x xq x x 1 1 32 1 =+ =− , 3； [ ] 1 13 2 2 y δ lyy y − = +− ， [ ] 1 13 2 2 z δ lzz z − = +− y δ 是度量对称轴在平面内弯曲程度的角度 OXY 或 1 12 2 ( )/2, ( / , ) 1 3 12 ( )/ 2 A B x q q x mmq x q q = + =− = − ( ) 2 1 3 2 , 2 2 2 y A B y B A B A A B l m m l m y y y y m m m mm 2 δ δ = − = =− = + + ；相仿。 123 zz z , , 2 2 22 1 2 4 44 A AA B y z B mm m mm T qq l m m 2 = ++ + ⎡δ δ ⎤ ⎣ ⎦ 总质量： 2 m mm = A B + ( ) 2 1 12 2 2 22 2 1 2 4 42 y z B km k k V qq l m 2 = ++ + δ δ 由此可见，所选的广义坐标是简正坐标，寻找简正坐标可以采用§6。5 中介绍的系统 8

方法。但也可以根据问题的特点（对称性等），凭直觉“猜测”简正坐标。（见教材 197-198 页）【例 2】（198 页）对称的三角形分子 ABA，夹角 2θ ○1 这是非线型三原子分子。三个原子的平衡位置当然在一个平面内。以 123（从右到左）标记原子 ABA；建立直角坐标系如图，使 XOY 平面与分子所在平面重合，原点与原子 B 重合，Y 轴平分夹角。就有： rl i j 10 = + (sin cos θ θ ) G G G ， 20 r = 0 G ， rl i j 30 =− + ( ) sin cos θ θ G G G 。振动由矢量u x i y j zk αα α α =+ + G G G G 刻划。振动自由度数 s n = −= ( ) 3 6 3 。约束方程 m uα α 0 给出三个方程： α ∑ = G ( 13 2 ) 0 m x x mx A B + + = （1） ( 13 2 ) 0 m y y my A B + + = ；（2） ( 13 2 ) 0 m z z mz A B + + = （3）约束方程 0 mr u 0 αα α α ∑ × = G G 给出三个方程： 1 3 cos ( ) 0 ml z z A θ + = （4） 1 3 sin ( ) 0 ml z z A θ − = ，（5） ( 13 13 )sin ( ) cos 0 ml y y x x A ⎡ ⎤ − θ −+ = θ ⎣ ⎦ （6）由（3）(4) (5)解得：，即三个振动自由度均位于平面内（即原子作振动时，保持位于平面内）。也就是说，如果振动偏离平面，就要破坏总动量为零和总角动量为零的条件，这样的振动应归入平动或转动。 123 zz z === 0 OXY OXY OXY 其余 6 个坐标 12312 3 x ,,,,, xxyyy 还有 3 个约束方程（1）（2）（6），与 s=3 一致。 ○2 当 2θ = π 时，本例的结果和线型分子相同。（理应如此） ○3 振动模式：从物理概念分析振动模式：原子 2 沿 X 轴振动，从物理和分子结构的对称性来分析，原子 1，3 的振动有两种模式（图 1，图 4），但图 4 应归入转动。原子 2 沿 Y 轴振动，有两种模式（图 2，图 3）。综上所述共有三种模式。图 3 与图 2 情况相似，我们着重分析图 1 和图 2。图 1 图 2 2 13 y yy = + 0 = 0 抵消 0 2 13 x xx = 0 + = 抵消 1 3 x + x 叠加，选 1 1 q xx = + 3 1 3 y + y 叠加，选 3 1 q yy = + 3 1-2，2-3 长度改变（拉压相反） 1-2，2-3 夹角改变（叠加）夹角改变（相互抵消）长度改变（拉压相同） ④势能的计算 u u x xi y y j 12 12 12 −= − + − ( )( ) G G G G u u x xi y y j 32 32 32 −= − + − ( )( ) G G G G 9

《分析力学》课程教学资源（电子教案）第六章 小振动

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