《分析力学》课程教学资源（电子教案）第四章 哈密顿力学（下）

第四章哈密顿力学(下) 4.5.泊松括号 1. Poisson括号的定义 设Q,v都是正则变量Pa2,qn和时间t的任意足够光滑的函数: =0(P2,qn,1)v=v(P29n) 则和的Pm括号定义为(时=(anay-gna (不同作者的定义可能相差一个符号) 【注意】求偏导数时,P2qn,t视作相互独立,求全导数时,p2,qn视作t的函数,即 6 0 0 B t daa pa dt 中。d0 dt dt at 2. Poisson括号的性质 i。[=v],反对称性→[,]=0 i。C=0,同样有:[C]=0,[cC2]=0其中CC1,C2均为常数。 ⅲl双线性 [1+2,v]=[]+[2,小→pw+v2]=园W]+[v2 cay]=C→[,Cv=C[,v] 般的,∑Cy=∑C,=9∑Cw|=∑cmw C,C,均为常数。 ivo [e,o,vl+lo, bv, 0+b,e, =0 [92小=[2,v]+[四,v/2→[wv2]=vw2]+[w]2 v。 对于 dt ap aqa dt 有类似公式成立 vi。[qnq7]=0.[D,p]=0.[p9]=6

1 第四章 哈密顿力学 （下） 4．5．泊松括号 1． Poisson 括号的定义 设 , 都是正则变量 p q,   和时间 t 的任意足够光滑的函数：     = = ( p q t p q t     , , , , ) ( ) 则  和  的 Poisson 括号定义为：   1 , s  p q q p           =       = −          （1） （不同作者的定义可能相差一个符号） 【注意】求偏导数时， p q t , ,   视作相互独立，求全导数时， p q,   视作 t 的函数，即 1 0 0, 0 0 , s p p p q q q q p t q p t dq dp d q p q p dt dt dt t q p                        =       = = = = = =            = = = + +         2．Poisson 括号的性质 ⅰ。, = −, ，反对称性 , = 0 ⅱ。C, = 0 ，同样有： , 0, , 0 C C C  = =  1 2  其中 1 2 C C C , , 均为常数。 ⅲ。双线性   ,  ,  , 1 + 2 = 1 + 2       1 2 1 2  , + = , + , C, = C,,C = C, 一 般 的 ，         = = = = =       =       N i i i N i i i N i i i N i Ci i C C C 1 1 1 1  ,  , ,  , ， , C Ci 均为常数。 ⅳ。,,+ ,,+ ,, = 0 ⅴ。            1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2   , =  , +  ,   ,  = , + ,  ⅵ。           +         =   t t t     , , , ， 对于 , , d p q dt       有类似公式成立。 ⅶ。 q q p p p q , 0, , 0, ,              = = =       

。[qJ=[p 说明:;ii、v表示其某些和乘法类似的性质,但不满足交换律[参见(i)],也不满足结 合律[参见(iⅳ)] 又:ⅶ、ⅶi表述了某些与量子力学有重要联系的性质 3.利用 Poisson括号表述哈密顿正则方程和一些有关的结果。 (1)设一个力学体系的哈密顿量为H(Pq),则任意光滑函数p(Pq,)的全导数可以利用 Poisson 括号表示为:“(4=0+[H (2) ①若=0,即=9(p.q),则4=[H,o] dh aH ②若q=H,则 d'点%参OH s0aH_0H=h,能量守恒或广义能 量守恒。 ③取p=P,9就得到=Pn=[H,P,m=9=[ 这就是用 Poisson括号表示的正则方程 (2)定理:p(P,q,)=C成为正则方程积分的充要条件为:+[H1,]=0 证明:如果(P,q)=C是正则方程的积分,则有=0利用(2)即得。 如果以(q)满足偏微分方程(4)0+[H,=0 H OHc=0则与之对应的常微分方程组,可表为 dt dq da dp q IaH aH H aH ap 这正是正则方程。由引理(见下面)可知(Pq,)=C是正则方程的积分, 引理:连续可微函数F=F(x,x,x2…x)为偏微分方程 aF X X=0 (5) (X=X(xnx…xn),=0,…m有连续导数,且X不同时为零)的一个解的充要条 件为:F(x0,x…x)=C为常微分方程组

2 ⅷ。 , , q p    p q           = = −   说明：iii、vi 表示其某些和乘法类似的性质，但不满足交换律[参见（i）]，也不满足结 合律[参见（iv）]。 又：vii、viii 表述了某些与量子力学有重要联系的性质。 3．利用 Poisson 括号表述哈密顿正则方程和一些有关的结果。 （1）设一个力学体系的哈密顿量为 H p q t ( , , ) ，则任意光滑函数  ( p q t , , ) 的全导数可以利用 Poisson 括号表示为： ( )   , , , d p q t H dt t     = +  （2） ①若 = 0   t  ，即  = ( p q, ) ，则  ,  d H dt  =  ②若  = H ，则 t H dt dH   = ，这意味着 H h dt dH t H =  = =   0 0 ，能量守恒或广义能 量守恒。 ③取 p q ,  =   就得到  , , ,    dp dq p H p q H q dt dt   = = = =     （3） 这就是用 Poisson 括号表示的正则方程。 （2）定理：  ( p q t C , , ) = 成为正则方程积分的充要条件为： H, 0  t    + =  （4） 证明：如果  ( p q t C , , ) = 是正则方程的积分，则有 = 0 dt d 利用（2）即得。 如果  ( p q t , , ) 满足偏微分方程（4） H, 0  t    + =  ，即 1 0 1 1 =             + −             +      = = n i i i n i i i q p H p q H t    则与之对应的常微分方程组，可表为           − = =           − =           = =           = n n n n q H dp q H dp p H dq p H dt dq   1 1 1 1 1 这正是正则方程。由引理（见下面）可知  ( p q t C , , ) = 是正则方程的积分， 引理：连续可微函数 F F x x x x = ( 0 1 2 , , , n ) 为偏微分方程 0 0 1 0 =   +   = n i i i x F X x F X （5） （ X X x x x i n i i n = = ( 0 1 , , 0,1, , ) 有连续导数，且 Xi 不同时为零）的一个解的充要条 件为： F(x0 , x1 xn ) = C 为常微分方程组

d x. dx d x 的一个积分 证 对于任意连续可微函数F(x…,x)可计算.+2,而对于等 式F(xnx1…,x)=C,台d=+∑d=0 如果F=F(xnx1…,x)满足(5),而方程组(6)等价于 X=dxo X=ndx. i=1.2.n 6) 代入(5)得4(0+①d=0,即可+么=0,则 F(x0,x1…,xn)=C是(6)的积分。反之,如果F(x0,x1…,x)=C是(6)的积分, 那么一dx+ d,=0必满足(6).把(6)代入,得X0谷 X aF aF 即x+∑X=0,则F=F(xx,…x)是偏微分方程(5)的一个解。 关于引理,我们还可以从另一个角度来理解。常微分方程组(6)即 X,-Odx,=0 X,dxo-Xodx2=0 X, dxo-xodx 由F(n,x…x)=C得a+=0,F=C要成为常微分方程组(6)的积 分,应与(6)协调,即上述n+个方程组成的线性齐次方程组,应有非零解( dx. dx1…dxn), 其充要条件为行列式

3 n n X dx X dx X dx X dx = = =  2 2 1 1 0 0 （6） 的一个积分。 证明： 对于任意连续可微函数 ( ) n F x , x , , x 0 1  ，可计算 =   +   = n i i i dx x F dx x F dF 1 0 0 ，而对于等 式 F(x0 , x1 ,  , xn ) = C ， 0 1 0 0 =   +   = = n i i i dx x F dx x F dF （0） 如果 ( ) n F F x , x , , x = 0 1  满足（5），而方程组（6）等价于 X0 = dx0 Xi = dxi i = 1,2n （6 ） 代入（ 5 ） 得 0 1 0 0 =          +   = n i i i dx x F dx x F  ， 即 0 1 0 0 =   +   = n i i i dx x F dx x F ， 则 F(x0 , x1 ,  , xn ) = C 是（6）的积分。反之，如果 F(x0 , x1 ,  , xn ) = C 是（6）的积分， 那么 0 1 0 0 =   +   = n i i i dx x F dx x F 必满足（6）。把（6 ）代入，得 0 1 0 1 0 =          +   = n i i i x F X x F X  ， 即 0 0 1 0 =   +   = n i i i x F X x F X ，则 ( ) n F F x , x , , x = 0 1  是偏微分方程（5）的一个解。 关于引理，我们还可以从另一个角度来理解。常微分方程组（6）即 0 0 0 0 0 2 0 0 2 1 0 0 1 − = − = − = Xn dx X dxn X dx X dx X dx X dx  由 F(x0 , x1 ,  , xn ) = C 得 0 1 0 0 =   +   = n i i i dx x F dx x F ，F=C 要成为常微分方程组（6）的积 分，应与（6）协调，即上述 n+1 个方程组成的线性齐次方程组，应有非零解 ( ) dx0 dx1 dxn , ， 其充要条件为行列式

X 0-X 0 即x(x,+x,af)=0,亦即F是偏微分方程(5)的一个解 (3)两个运动积分的泊松括号也是运动积分。即:如果o(P,q,t)=C1和v(pn,q,l) 是正则方程的两个积分,那么[]=C3也是正则方程的一个积分。(称为 Poisson定理或 Jacobi- Poisson定理) 有了 Poisson定理,似乎只要有了两个积分,就能求出第三个,第四个……问 题就解决了,其实不然。 Poisson定理只提供了求第三个积分的方法,但未保 证得到的积分是独立于已知积分的,非平庸的。因此问题远未解决。 (4)泊松括号在(单价)正则变换下保持不变,即[9,vl。=[,yla H 【例1】 0时,正则方程有积分H=h 如果已知另一个积分q(p,qst)=C,那么[q,H=C也是一个积分,事实上这个积分就是 进一步可得 a2=C2,…也是积分。若Cq=0或常数,则新的积分是平庸的(只是 恒等式) 【例2】43页例题2(1),椭圆摆 =0有能量积分 H 2 cos o E 2(m,+m, sin20 aH =0有循环积分(水平方向动量守恒),p=C, 2=0,不能得到新 的积分。 【例3】教材264页【例2】讨论了角动量,如果J=C1,Jy=C2是两个积分,那么J=C3也 是一个积分。可以研究 (1)这个结论对质点组是否成立 (2)这个结论可否推广为:如果角动量在某两个方向(不相同,也不相反)上的投 影守恒,Ja=C1,J=C2,那么J在任意方向的投影守恒

4 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 2 0 1 0 =         − − − n n x F x F x F x F X X X X X X           即 1 0 0 0 1 0 n n i i i F F X X X x x − =       + =      ，亦即 F 是偏微分方程（5）的一个解。 （3）两个运动积分的泊松括号也是运动积分。即:如果 ( ) 1  ps , qs ,t = C 和 ( ) 2  ps , qs ,t = C 是正则方程的两个积分，那么   3 , = C 也是正则方程的一个积分。（称为 Poisson 定理或 Jacobi－Poisson 定理） 有了 Poisson 定理，似乎只要有了两个积分，就能求出第三个，第四个……问 题就解决了，其实不然。Poisson 定理只提供了求第三个积分的方法，但未保 证得到的积分是独立于已知积分的,非平庸的。因此问题远未解决。 （4）泊松括号在（单价）正则变换下保持不变,即     , , , , p q P Q     = 【例 1 】 = 0   t H 时，正则方程有积分 H=h. 如果已知另一个积分(ps,qs,t)=C,那么[, H]=C 也是一个积分,事实上这个积分就是 C1 t =   −  。 进一步可得， 2 2 2 C , t   =  也是积分。若 0 k k t     或常数，则新的积分是平庸的（只是 恒等式）. 【例 2】 43 页例题 2（1），椭圆摆 = 0   t H 有能量积分 ( ) 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2cos cos 2 sin y y m m H p p p p m gl E m m m l l        + = + − − =   +   = 0   y H 有循环积分（水平方向动量守恒），py=C，  ,  = 0   = − t p p H y y ，不能得到新 的积分。 【例 3】 教材 264 页【例 2】讨论了角动量，如果 Jx=C1，Jy=C2 是两个积分，那么 Jz=C3 也 是一个积分。可以研究： （1） 这个结论对质点组是否成立 （2） 这个结论可否推广为：如果角动量在某两个方向（不相同，也不相反）上的投 影守恒，J=C1，J=C2，那么 J  在任意方向的投影守恒

4.6.哈密顿一雅可比方程(积分 Hamilton正则方程的 Jacobi方法) 1.正则变换的目的是使尽可能多的正则变量成为循环坐标,以得到尽可能多的循 环积分。最理想的情况是:经过正则变换,使新的哈密顿量H*=0,于是P=0 Q。=0,即所有新的正则变量都成为循环坐标,所以P==常数,Q=5= 常数(a=1,2,…,S) 利用由正则变换充分条件∑(Pn+QB)+(H-H)h=dF(q,P)得到的 aF2 aF2 P Q t aP 于是得到正则变换的母函数应满足的偏微分方程 aF2 (q, n,t) aF g, t 由于方程中只含未知函数F2的偏导数,不含未知函数本身,因此方程(1)可以改写为: t|=0 ot 其中S(qn1)=F(q7)+C(2) 方程(1)或(1)称为 Hamilton-Jacobi方程,S称为 Hamilton主函数。这是一阶偏微分 方程,未知函数S是qn,1共S+1个自变量的函数,完全解S应含有(s+1)个常数,其中F2含 有s个常数n,所以S中有一个相加常数C是理所应当的 Hamilton主函数(积分限不确定的哈密顿作用量,因此又称哈密顿作用函数)的物理意义: s=lLdt (7) (7)式中的积分是不定积分(S应含一个相加常数C)。证明过程见教材266页。由证明过 程可见,在积分时,应将拉格朗日函数中的q,q视作t的函数,(【注意】 L 两者是不同的。)因此在解得正则方程之前,是无法具体求出S=S(q7)的。(利用前式积 分S=-HM其中q,=P在积分过程中视作常数,但H=H(pq)其中p是1的怎 样的函数在解得正则方程之前是未知的,因此在解得正则方程之前,也是无法具体求出 S=S(q,71)的。)(7)式不能作为HJ方程的完全解进一步去求正则方程的积分。为此我 们必须另辟途径去求HJ方程的完全解。(求S的方法放在第3段讨论)

5 4．6．哈密顿—雅可比方程（积分 Hamilton 正则方程的 Jacobi 方法） 1．正则变换的目的是使尽可能多的正则变量成为循环坐标，以得到尽可能多的循 环积分。最理想的情况是：经过正则变换，使新的哈密顿量 H* 0 = ，于是 P 0  = ， Q 0  = ，即所有新的正则变量都成为循环坐标，所以 P  = =常数， Q  = = 常数 ( =1,2, ,s) 。 利用由正则变换充分条件 ( ) ( ) ( ) * 2 1 , , s p dq Q dP H H dt dF q P t     =  + + − = 得到的 F2 * H H t  = −  ， F F 2 2 p Q q P       = =   ， 于是得到正则变换的母函数应满足的偏微分方程 2 ( ) 2 , , , , 0 F q t F H q t t q      + =       (1) 由于方程中只含未知函数 F2 的偏导数，不含未知函数本身，因此方程(1)可以改写为： , , 0 S S H q t t q    + =      (1’) 其中 S q t F q t C ( , , , ,   ) = + 2 ( ) （2） 方程(1)或（1’）称为 Hamilton-Jacobi 方程， S 称为 Hamilton 主函数。这是一阶偏微分 方程，未知函数 S 是 q t,  共 s +1 个自变量的函数，完全解 S 应含有 ( 1) s + 个常数，其中 F2 含 有 s 个常数  ，所以 S 中有一个相加常数 C 是理所应当的。 Hamilton 主函数（积分限不确定的哈密顿作用量，因此又称哈密顿作用函数）的物理意义：  S = Ldt （7） （7）式中的积分是不定积分（ S 应含一个相加常数 C ）。证明过程见教材 266 页。由证明过 程可见，在积分时，应将拉格朗日函数中的 q q, 视作 t 的函数，（【注意】 , S dS H L t dt  = − =  两者是不同的。）因此在解得正则方程之前，是无法具体求出 S S q t = ( , ,  ) 的。（利用前式积 分 S Hdt = − 其中 q P ,     = 在积分过程中视作常数，但 H H p q t = ( , , ) 其中 p 是 t 的怎 样的函数在解得正则方程之前是未知的，因此在解得正则方程之前，也是无法具体求出 S S q t = ( , ,  ) 的。）（7）式不能作为 H-J 方程的完全解进一步去求正则方程的积分。为此我 们必须另辟途径去求 H-J 方程的完全解。（求 S 的方法放在第 3 段讨论）

2.在求得H-J方程的完全解S以后,我们可得 =5aa=1,2…s 可以证明(3)就是正则方程GH=aac分 (4) 的全部2s个积分,含2s个积分常数,从(3)可解出为 j4=q(n…n,5…) 1.2. (5) Pn=P2(1,n…m,5…5) 或者 「n=mn(pq) p,g, (5)就是正则方程(4)的积分的显式,(6)是其隐函数形式。(5)和(6)式也是新老正 则变量间的正则变换关系式。这个结果称为哈密顿一雅可比定理(参阅本节末的附录)。其 证明参阅参考资料3第296-298页。 3.哈密顿一雅可比方程的求解问题:(主函数S的求法 ah dh 在H不显含t即一=0的情况下 =0从而H=E=常数,即存在(广义)能量积分 的情况下,哈密顿一雅可比方程可表为(9,) 哈一雅方程的完全解S=-E+W(q…q,E,nh…m)+C (相当于使时间t与广义坐标进行变量分离),W称为哈密顿特征函数。其中s个常数已经 过重新组合(相当于进行一次不含t的正则变换),使n=E 因为:M(5-b1应-M-) 所以W=∑Pd,是积分上限不确定的莫培督(May作用量 (3)式可以化为 as an p q on, dE H-J方程化为

6 2．在求得 H-J 方程的完全解 S 以后，我们可得 1,2 S S p s q          = = =   （3） 可以证明（3）就是正则方程 H H q p p q       = = −   （4） 的全部 2s 个积分，含 2s 个积分常数，从（3）可解出为 ( ) ( ) 1 1 1 1 , , , , s s s s q q t p p t              =   =   = 1, 2, s （5） 或者 ( ) ( ) , , , , p q t p q t          =   =   = 1, 2, s （6） （5）就是正则方程（4）的积分的显式，（6）是其隐函数形式。（5）和（6）式也是新老正 则变量间的正则变换关系式。这个结果称为哈密顿—雅可比定理（参阅本节末的附录）。其 证明参阅参考资料 3 第 296－298 页。 3．哈密顿—雅可比方程的求解问题：（主函数 S 的求法） 在 H 不显含 t 即 0 H t  =  的情况下， 0 dH dt = 从而 H E = = 常数，即存在（广义）能量积分 的情况下，哈密顿—雅可比方程可表为 ( , , ) 0 S q t E t   + =  哈—雅方程的完全解 S Et W q q E C = − + + ( 1 2 s s , ,  ) （相当于使时间 t 与广义坐标进行变量分离）， W 称为哈密顿特征函数。其中 s 个常数已经 过重新组合（相当于进行一次不含 t 的正则变换），使 1 = E ， 因为 ( ) 0 1 1 S Ldt p q h dt p dq h t t n s s s n s s s  = − −      = = −     = =  所以 = = n s W psdqs 1 是积分上限不确定的莫培督(Maupertuis)作用量。 （3）式可以化为 1,2 S W p s q q       = = =   2,3 S W s          = = =   1 1 S S W t E E      = = − + =    （3’） H－J 方程化为

aw an H E 在求得W的完全解以后,就可得到 an P 1,2…s (10) an B=2, (11) 至于5=2 已经记n=E,若记51=-,则有-0==-+OW 7 OE’所以 W OE I (12) (10)、(11)、(12)是正则方程的积分,其中(11)的s-1个式子给出轨道,结合(12) 就得到运动规律:qn=qn(1,4,E,…252…),(10)给出动量 4.用分离变量法求哈密顿特征函数: 在某些问题中,选取了合适的坐标系,T,V都是可分离变量的 T=4(9 aw A 没有交叉项 =H1(q)+…+V( (13) 则我们可设W的分离变量形式 W=W(q)+…+W2(q) awaw dn 于是 a=,(9)化为 d/ )2 H=∑Hn=E,H=4()+()=∑n=E(15) 这里的n,n2…,(仅有s-1个独立,所以n=E一2-n3-…-m)又不同于原来的 =E,n2,13,…,1,(又相当于经过一次正则变换),所以 2(na-k n n2 Wa的相加常数均可吸收入C

7 1 1 , , , s s W W H q q E q q       =     （9） 在求得 W 的完全解以后，就可得到 1,2 W p s q     = =  （10） 2,3 W s       = =  （11） 至于 1 1 S    =  已经记 1 = E ，若记 1 0  = −t ，则有 0 S W t t E E   − = = − +   ，所以 0 W t t E  = −  （12） （10）、（11）、（12）是正则方程的积分，其中（11）的 s −1 个式子给出轨道，结合（12） 就得到运动规律： q q t t E   = ( , , , , 0 2 2     s s ) ，（10）给出动量。 4．用分离变量法求哈密顿特征函数： 在某些问题中，选取了合适的坐标系， T V, 都是可分离变量的 ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 2 s s s W W T A q A q q q        = + +                 没有交叉项。 V V q V q = + + 1 1 ( ) s s ( ) （13） 则我们可设 W 的分离变量形式 W W q W q = + + 1 1 ( ) s s ( ) （14） 于是， W W dW q q dq        = =   ，（9）化为 ( ) ( ) 2 1 1 1 , 2 s s dW H H E H A q V q E dq               = =   = = = + = =       （15） 这里的 1 2 , , ,   s （仅有 s −1 个独立，所以 1 2 3 )     = − − − − E s 又不同于原来的 1 = E ， 2 3 , , ,   s （又相当于经过一次正则变换），所以 ( ) 1 2 2 1,2 , s V W dq s E A           − = = = − − −  （16） W 的相加常数均可吸收入 C

综上所述,在满足(13)的条件下,方程(9)的解可表为(14)的形式,(14)中的每一项 又可表为(16),从而方程(1)的完全解(8)可表为 S=-E+W(,E-n2-…-)+∑W(qnn)+C (8) 从而正则方程的积分(10)-(12)就可表为 d环 Pa (10) so s as awa aw awaW =2,3 (11) ana anaana an f-t dE dE (12) 可分离变量的条件,还可适当放宽,总之,只要能把偏微分方程化为常微分方程即可 4.应用举例 【例1】单摆只有一个自由度,H=E,(不存在n2,73,…) H2m/2 Pe-mglcos8 H= mgl cos 8=EE=- mgl cosCo 0为振幅 2(E+mgl co =√2m2 7g. cos0- cos a de S=-Et+w+c pe 218(cos 0-cos Bo) /g V2(E+ mgl cos e) J v2(cos 8-cosB) d 这就是有限摆幅的单摆的运动规律,(t单调增加,而θ周期性摆动,上式仅在半个周期 内成立。若B。>0,右边根号前应添一负号)此积分为椭圆函数,在小角度情况下 cos-cos≈(a2-02)是谐振子 2nP(E-1)=√2mP7=12mm102=mf)b此式倒不必调整正负号

8 综上所述，在满足（13）的条件下，方程（9）的解可表为（14）的形式，（14）中的每一项 又可表为（16），从而方程（1）的完全解（8）可表为 1 1 2 ( ) ( ) 2 , , s s S Et W q E W q C        = = − + − − − + +  （8 ） 从而正则方程的积分（10）－（12）就可表为 1,2 , dW p s dq    = =  （10） 1 1 , 2,3, , S W W W W s E                   = = + = − =      （11） 1 1 1 0 0 , S W W t t t t E E E     = − = = − +  = −    （12） 可分离变量的条件，还可适当放宽，总之，只要能把偏微分方程化为常微分方程即可。 4． 应用举例： 【例 1】单摆只有一个自由度， H E = ，（不存在 2 3  , , ）  cos 2 1 2 2 p mgl ml H = − 0 2 2 cos cos 2 1     mgl E E mgl d dW ml H  − = = −      =  0 为振幅。 ( )   = − + =           0 0 0 2 3 2 2 cos cos 1 2 cos m l g d d ml E mgl W S = −Et +W + C ( ) 0 2 3 p = 2m l g cos − cos ( ) ( )   − = + =   − =          0  0 0 2 0 2 cos cos / 2 cos d l g d E mgl ml E W t t 这就是有限摆幅的单摆的运动规律，（ t 单调增加，而  周期性摆动，上式仅在半个周期 内成立。若  0 >0，右边根号前应添一负号）此积分为椭圆函数，在小角度情况下 ( ) 2 2 0 0 2 1 cos − cos   − 是谐振子  ( )   2 2 2 2 2 2  2 1 p = 2ml E −V = 2ml T = 2ml ml = ml 此式倒不必调整正负号

总是成立的,因为开平方可能引起的正负号的差错正好抵消了。 【例2】用哈密顿一雅可比方程解开普勒( Kepler)问题 因为 a=0,所以H-J方程可表为/ aH E 取平面极坐标H=|p 06 应有S=-E+W(;,O,E,J)+C,r,O,E,相当于(8)-(12)式中的q1,q2,E,n 本例H与(13)稍不同,(15)(16)(8)(11)(12)应作适当调整,但关键的一点是 这个方程仍能用分离变量法来求解,事实上,设W=W()+H2(0),得 amIe+ J厂2(第一边与无关,第二边与r无关,所 以它们只能都等于常数,由第二边知常数非负,设为J2)积分得 W()=/2mE W2(0)=J0 (2)-J2m(E - dr+Je W中的相加常数均可归入C,未写出 进一步按(8)一(12)求得正则方程的积分 dw P mle dw2 pe mdr 2ml e+ (3) 对于椭圆,有t-t=W_「m r E E 2m E

9 总是成立的，因为开平方可能引起的正负号的差错正好抵消了。 【例 2】用哈密顿—雅可比方程解开普勒（Kepler）问题。 因为 = 0   t H ，所以 H－J 方程可表为 q E q W H =          , 取平面极坐标 r r p p m H r   −        = + 2 2 2 2 1 E r W r r W m − =                  +          2 2 2 1 2 1 应有 S = −Et +W(r,,E, J )+C，r E J , , ,  相当于（8）－（12）式中的 1 2 2 q q E , , , ， 本例 H 与（13）稍不同，（15）（16）（8 ）（11）（12）应作适当调整，但关键的一点是 这个方程仍能用分离变量法来求解，事实上，设 ( ) ( ) 1 W2 W =W r + ，得 2 2 1 2 2 2 2 dW dW m E r J dr r d           − − + = =                   （第一边与无关，第二边与 r 无关，所 以它们只能都等于常数，由第二边知常数非负，设为 J 2）积分得 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 2 , 2 J W r m E dr r r W J J W r m E dr J r r         = + −     =   = + − +       W 中的相加常数均可归入 C，未写出。 进一步按（8）－（12）求得正则方程的积分 2 2 1 2 r J r m E dr dW pr  −      = = +  （1） J d dW p = =   2 （2） 0 2 2 2 W mdr t t E J m E r r   − = =      + −    （3） 对于椭圆，有 0 2 2 2 2 W m rdr t t E E J r r E m E   − = =  − + − 

d+b=6 r2 /2m E+a 积分得b- J me me+ 2EJ P e 2,得到 ma 由此可见(4)给出的是轨道方程。(3)给出运动规律r(,结合(3)和(4)能给出运 动规律θ(t),(1)(2)给出的是动量 经过含t的正则变换(又经过不含t的正则变换,即as的重新组合)得到的P,P2就是 守恒量能量E和角动量J,而得到的Q1,Q2是计算t和0的零点to和o 6.哈密顿一雅可比方程的意义 ①给出了解正则方程的又一种方法,可与其他方法互为补充。而且其结果不仅包括运动规 律,而且还有轨道,动量,内容十分丰富。在处理简单问题时,可能看不出其优越性,但 处理较复杂问题,例如三体问题,H一J方程就大有用处了。 Q处理质点力学或者质点力学问题,都用常微分方程(组),(包括牛顿方程, Lagrange 方程,正则方程等)而H-J方程是偏微分方程,是用来处理无限多个自由度的力学体系 问题的,例如波、连续介质等。常微分方程(组)和偏微分方程之间的联系,给我们一种 启示:粒子和波之间可能有某种联系。因而H-J方程在量子力学的建立过程中,起了重 要的作用 [附录]历史资料: 哈密顿定理(1834-41835):如果主函数S=Ldt己求出,那么正则方程的全部积分为: P -pao(a=1,2,…,s),Pao为t=时p2的值,q20为1=t0时q2的 值;并且S满足偏微分方程x+∥/aS aqa ' t=0 说明:1。求得了S,就可以求得正则方程的积分,但在正则方程没有积出之前,S也不 能求得。这里有一个循环,问题没有得到解决。 2.说明S满足一个偏微分方程+H,q,1=0,这是富于启发性的 雅可比定理(1837):如果S=S(,q,…q1;q0…q,0)+C是方程 aS +h ,qn,t|=0的积分,q0,…q0,C是此解的s+1个积分常数,那么正则方

10 0 2 2 2 2    + =  −      + − =    dr r J r r m E J J W （4） 积分得 0 2 2 2 2 2 2 2 arccos 2 2 J m J m d r J r J m J m m mE mE J r J J          − −   −   − = =   + − − +      ， 令 m J p 2 = ， 2 2 2 1 EJ e m = + ，得到 ( ) 0 1+ cos  − = e p r （4 ） 由此可见（4）给出的是轨道方程。（3）给出运动规律 r(t)，结合（3）和（4）能给出运 动规律(t)，（1）（2）给出的是动量。 经过含 t 的正则变换（又经过不含 t 的正则变换，即s 的重新组合）得到的 P1，P2 就是 守恒量能量 E 和角动量 J，而得到的 Q1，Q2 是计算 t 和的零点 t0 和0。 6．哈密顿—雅可比方程的意义 ○1 给出了解正则方程的又一种方法，可与其他方法互为补充。而且其结果不仅包括运动规 律，而且还有轨道，动量，内容十分丰富。在处理简单问题时，可能看不出其优越性，但 处理较复杂问题，例如三体问题，H－J 方程就大有用处了。 ○2 处理质点力学或者质点力学问题，都用常微分方程（组），（包括牛顿方程，Lagrange 方程，正则方程等）而 H－J 方程是偏微分方程，是用来处理无限多个自由度的力学体系 问题的，例如波、连续介质等。常微分方程（组）和偏微分方程之间的联系，给我们一种 启示：粒子和波之间可能有某种联系。因而 H－J 方程在量子力学的建立过程中，起了重 要的作用。 [附录]历史资料： 哈密顿定理(1834---1835)：如果主函数 0 t t S Ldt =  已求出，那么正则方程的全部积分为： 0 ( ) 0 , 1,2, , S S p p s q q        = = − =   ， 0 p 为 0 t t = 时 p 的值， 0 q 为 0 t t = 时 q 的 值；并且 S 满足偏微分方程 , , 0 S S H q t t q       + =      说明：1。求得了 S ，就可以求得正则方程的积分，但在正则方程没有积出之前， S 也不 能求得。这里有一个循环，问题没有得到解决。 2．说明 S 满足一个偏微分方程 , , 0 S S H q t t q    + =      ，这是富于启发性的。 雅可比定理（1837）：如果 S S t q q q q C = + ( , , ; , 1 10 0 s s ) 是方程 , , 0 S S H q t t q       + =      的积分， 10 0 , , s q q C 是此解的 s +1 个积分常数，那么正则方