第5章留数 51解析函数的孤立奇点 52留数定理 53留数应用 51解析函数的孤立奇点 51.1孤立奇点z0的定义及分类 定义51:设(=)在域D:0<z-=0k<R内解析而在0不解析,则称=0为f(=)的孤立奇点。 sln二sin二 如0为 及e的孤立奇点:1,2是f(=)= 的孤立奇点;而0是 lnz的奇点,却不是孤立奇点。事实上,若函数/()仅有有限个奇点,则其每一个奇点都是孤立奇 点(为什么?)。 孤立奇点二0按照f()在D内的罗朗展式含负次幂的情况分类如下 *f(=)=∑cn(=-=0) 其中 d(n=0,±1,±2,…),C是正向圆周|z-0=r(0<r<R 1若n=-1-2,-3…时,Cn=0,则称二0是f(-)的可去奇点,此时,其罗朗展式为 ∫(=)=+c(z-=0)+…+cn(=-=0)+ 5.1) 例如 sin= 1 (-1) (-1) 22(2n+1) (2n+1 sin 由可去奇点的定义知,0为 的可去奇点 2若∫(=)的罗朗展式(51)中只有有限个(至少一个)负整数n使得cn≠0,则称二0为f() 的极点若对正整数m,Cn≠0,而当n<-m时,cn=0,则称二0是f(-)的m阶极点。第5章 留 数 5.1解析函数的孤立奇点 5.2 留数定理 5.3 留数应用 5.1 解析函数的孤立奇点 5.1.1 孤立奇点 的定义及分类 0 z 定义 5.1：设 在域 ( )zf 内解析而在 不解析，则称 为 的孤立奇点。 0 D zz :0 | | <− < R 0 z 0 z ( )zf 如 为0 z sin z , 2 sin z z 及 z e 1 的孤立奇点；1，2 是 f (z) = ( )( )2 21 1 zz −− 的孤立奇点；而0 是 ln z 的奇点，却不是孤立奇点。事实上，若函数 f (z)仅有有限个奇点，则其每一个奇点都是孤立奇 点 为什么 ( ?) 。 孤立奇点 按照 0 z (zf )在 内的罗朗展式含负次幂的情况 D 分类如下： * f ( )z = ∑ ( +∞ −∞= − n n n zzc 0 ) 其中 n c = ( ) ( ) ∫ + r − C n dz zz zf i 1 0 2 1 π ( 0, 1, 2, ) n = ±± L ， 是正向圆周 Cr 0 | | zz r − = (0 < <r R) . 1.若 n =− − − 1, 2, 3,L时， ，则称 是 0 n c = 0 z (zf )的可去奇点，此时，其罗朗展式为 f ( )z = 0 c + cz z 1 0 ( ) − ++ L ( ) 0 n n czz − +L (5.1) 例如： sin z z = ( ) ( ) ∑ ∞ = + + − 0 12 12 1 1 n n n n z z ！ ( ) ( ) 2 0 1 2 1 n n n z n ∞ = − = = + ∑ ！ 2 4 1 3! 5 z Z − + −L， 由可去奇点的定义知， 为0 z sin z 的可去奇点。 2.若 的罗朗展式 中只有有限个 至少一个 ( )zf (5.1) ( ) 负整数 使得 n cn ≠ 0 ，则称 z 0 为 (zf ) 的极点.若对正整数 m ， ，而当 0 m c− ≠ n < −m时， 0 n c = ，则称 是0 z (zf )的 m 阶极点