此时,其罗朗展式为 +c(=-=0) 例如 由m阶极点的定义知,0为2的一阶极点。 同理:z=1,-1分别为—的二阶、一阶极点 3若f(=)的罗朗展式中有无限多个n<0,使得cn≠0,则称z0是f()的本性奇点。 例如 (0<=k+∞), 则z=0为函数e=的本性奇点。 同理z=1为sin的本性奇点 由可去奇点、极点、本性奇点的定义结合函数的罗朗展式*易得: 定理51设函数/()在04=-kR(R>0)内解析,则二0是八()的可去奇点、极点、本性 奇点的必要与充分条件是:mf(=)=c(常数)、imf(=)=∞、lm(=)不存在也不为∞ 例如:1im5in limin 极点阶数的判断 若=0为/()的m阶极点,则∫()在域D:04x-=0kR内解析,并有罗朗展式: f(-)=cn(=-=0)m+c.m(=-=0)m+…+c1(z-=a)+co+c(=-=0)+…+ 0)+ (z-=0)+…+c0(z-=0)+…+cn(=-=0) (5.4 其中()=cm≠0,以()为幂级数的和函数,在04x-=0kR内解析 反之,若f(二)在D内可以表示成为此时，其罗朗展式为 ( )zf ( ) 0 m m c zz − = −+ − + 0 L c +cz z 1 0 ( − +) + ( ) 0 n n L czz − +L (5.2) 例如： 2 sin z z 1 z = − !3 z 3 5! z + −L， 由 阶极点的定义知， m 0 为 2 sin z z 的一阶极点。 同理： 分别为 z = − 1, 1 1 1 23 − − zzz + 的二阶、一阶极点。 3.若 的罗朗展式中有无限多个 ( )zf n < 0 ，使得 0 n c ≠ ，则称 是 的本性奇点。 0 z ( )zf 例如： z e 1 1 1 z =+ + 2 1 !2 1 z 1 1 ! n n z ++ + L L (0 | | ) < z < +∞ ， 则 为函数 z = 0 z e 1 的本性奇点。 同理 为 z =1 1− z 1 sin 的本性奇点。 由可去奇点、极点、本性奇点的定义结合函数的罗朗展式*易得： 定理5.1 设函数 ( )zf 在0| | <− < zz R 0 ( 0 R > ) 内解析，则 是0 z (zf )的可去奇点、极点、本性 奇点的必要与充分条件是： ( ) 0 lim ( z z f z c → = 常数) 、 ( ) 0 limz z f z → = ∞ 、 (zf ) zz 0 lim → 不存在也不为∞。 例如：lim sin z z = 1 lim 1 1 23 − − zzz + = lim 1− z 1 sin 极点阶数的判断 若 为 的 阶极点，则 在域 ： 0 z ( )zf m ( )zf D 0 0| | < zz R − < 内解析，并有罗朗展式： ( )zf ( ) 0 m m c zz − = − − + ( ) 1 01 +− +− − m m zzc ( ) 1 1 0 c zz − + + − − + 0 L c +cz z 1 0 ( − ++ ) L ( ) 0 n n czz − +L = ( ) [ () () () ... ... ...] 1 01 00 0 0 +−++−++−+ − + +−− mn n m m mm zzczzczzcc zz ( ) ( ) 0 1 m z z z = ϕ − , （5.4） 其中ϕ( )z 0 m c = ≠ − ，ϕ(z)为幂级数的和函数，在 0 0| | < zz R − < 内解析. 反之，若 在 内可以表示成为 ( )zf D