f() )9(=) 的形式,其中()是在0x-0kR内解析的函数,并且(=0)≠0,则0是(2)的m阶极点 式(54)两边同乘以(二-=0),得 (=-=0)f()=q/(=) 从而Im(-=0)(=)=(=0)=cm≠0,于是在定理5*的条件下,=0是/(-)的m阶极点的必 要与充分条件是 im(z-=0)f()=9(=0)=cm(cm为非零复常数) 二→=0 例51判定函数f()=的孤立奇点的类型 (=-1)( 解由定义知,z1=1,z2=2为f()的孤立奇点。 因为im(-1)()=lim5x=1≠0,im(-2)2f()=lm-==2≠0,所以 为f()的一阶极点,二2=2为f()的二阶极点。 5.12零点与极点的关系。 定义51设f()在二0的邻域内解析,f(=)=0,则称=0为解析函数/()的零点。 设∫(=)在该邻域内的泰勒展式为 f()=∑cn(2-=0) 那么 (1)当cn=0(n=,2…)时,f()=0 (2)当c1,c2,…,cn,…不全等于零时,总有Cm≠0,而Cn=0(n<m,我们说二0是 f(-)的m阶零点。当m=1时。称z0为f(=)的简单零点。 定理52不恒为零的解析函数∫()以二0为m阶零点的充要条件为 f(=)=(z-=0)o(=) 其中()在点=0的邻域04-kR内解析,且9(=0)≠0。 证必要性。由假设( )zf ( ) ( ) 0 1 m z z z = ϕ − 的形式，其中ϕ( )z 是在0| | <− < zz R 0 内解析的函数，并且ϕ (z0 ) ≠ 0 ，则 是 的 阶极点。 式 *两边同乘以( ，得 0 z ( )zf m (5.4) ) m zz − 0 ( ) (zfzz ) m − 0 =ϕ (z) , 从而 ( )( ) ( ) 0 zfzz ϕ z m zz 0 0 lim − → = = 0 m c− ≠ ，于是在定理 *的条件下, 是 的 阶极点的必 要与充分条件是： 5.1 0 z ( )zf m ( ) (zfzz ) m zz 0 0 lim − → =ϕ (z0 ) = m c− （ 为非零复常数）. m c− 例5.1 判定函数 ( )zf ( )( )2 1 2 z z z = − − 的孤立奇点的类型。 解 由定义知， z1 =1, 为 2 z = 2 (zf )的孤立奇点。 因为 ( ) (zfz ) z 1lim 1 − → ( )2 1 lim 1 0 2 z z z → = = ≠ ( ) ( − , zfz ) z 2 2 − 2 → lim 2 lim 2 0 z 1 z → z = = ≠ − ，所以 1z =1 为 的一阶极点， ( )zf 2 z = 2 为 的二阶极点。 ( )zf 5.1.2零点与极点的关系。 定义5.1 设 ( )zf 在 的邻域内解析， 0 z f z( 0 ) = 0，则称 为解析函数 的零点。 0 z ( )zf 设 在该邻域内的泰勒展式为 ( )zf f ( )z = ∑ ( ， ∞ = − 0 0 n n n zzc ) ) 那么 (1) 当 cn = 0 ( 1, 2, n = L 时， f z( ) ≡ 0。 (2) 当c1 , , c2 L， ，cn L不全等于零时，总有 mc ≠ 0，而 0 n c = ( ，我们说 是 的 阶零点。当 时。称 为 n m< 0 z ( )zf m m =1 0 z (zf )的简单零点。 定理5.2 不恒为零的解析函数 (zf )以 为 阶零点的充要条件为 0 z m f ( )z = ( ) (zzz ) m − 0 ϕ ， 其中 ϕ( )z 在点 的邻域 z 0 0| | <− < zz R 0 内解析，且ϕ (z0 ) ≠ 0 。 证 必要性。由假设