常数变易公式:一阶线性非齐次方程dx/dt+p(t)x=q()的 切解可以表示为x()=bM()(c+2(s)/()d)其中M()是对应的 线性齐次方程dr/dt+p(t)x=0的任一个确定的非零特解,可取 h(t)=exp(-p(t)dt)中一个特定的函数.其中exp(s)=e°表示指数 函数.c为任意常数.注意公式中的两个函数h(t)必须取同一个函 数 1.用分离变量法求解下列方程或初值问题: 0 解:y=cexp(∫-e2adx)=cexp(-e2/2) 2)sec2 a tan y d z + sec2 y tan r dy=0 解:原方程可化为 tan yd tanT+ tan a d tan y=0,从而 d( tan r tan y)=0,积分得通解 tan a tan y=c )+1 解:将原方程化为(x+1)eydy+(ey-2)dx=0,进而化为 +1)d(ey-2)+(ey-2)d(x+1)=0,即d【(x+1)(ey-2)=0,积分得 通解(x+1)(e-2)=c 解:将原方程化为6e3dx+6ye-y2dy=0,积分得通解 解:将方程化为eydy-erdx=0,积分得通解e-e=c. 6)x2(1-y)dy+y2(1+x)dx=0 解:当xy≠0时,将方程化为(1/x2+1/ax)dx+(1/y2-1/y)dy=0 积分得通解1/x+1/y+ln/(cr)=0.还有两个特解,x=0及y=0, 它们不包括在通解中 7)3e tan y dz 0,y(1)=丌/4 解:将原方程化为-3 tany d(er-1)+(e-1) d tan y=0,方程两边乘 以(a-1)-,得d[-1)-3tany=0,积分得通解(e-13tany= 即tany=c(e2-1)3,初值问题的解为y= arctan[lea-1)3/(e-1 8)x√1+y2+w1+x2出=0,y(0)=1 答:通解为√1+x2+√1+y2=c 初值问题的解为y=V( 9)(1+x)ydx+x(1-y)dy=0,y(2)=0 答:初值问题的解为y=0(不能从通解ln(xy)/c)=y-x中得 y(1)=0 解:将方程化为d(1+y2)/d(x2)=(1+y2)/{x2(1+x2),分离变量得 1+y2)/(1+y2)=1/x2-1/(1+x2)d(x2),积分得通解为& ' 1.2 *-./: #01 dx/dt + p(t)x = q(t)  2 RS341 x(t) = h(t) ³ c + R t t0 q(s)/h(s) ds ´ qX h(t) /Z5 01 dx/dt + p(t)x = 0 UN6! #$? , Rk h(t) = exp(R −p(t) dt) XN?! J. qX exp(s) = es 34( J. c 1UV. }V./X wNJ h(t) 78kNJ . 1. 9
:*] *+O@: 1) dy dx + ye 2x = 0 : y = c exp(R −e 2x dx) = c exp(−e 2x/2) 2) sec2 x tan y dx + sec2 y tan x dy = 0 : ;R+1 tan y d tan x + tan x d tan y = 0, uW d (tan x tan y) = 0, )
v= tan x tan y = c. 3) (x + 1) dy dx + 1 = 2e−y : ~;+1 (x + 1)ey dy + (ey − 2) dx = 0, <W+1 (x + 1)d(ey − 2) + (ey − 2)d(x + 1) = 0,  d[(x + 1)(ey − 2)] = 0, )
v = (x + 1) (ey − 2) = c. 4) dy dx + 1 y e y 2 + 3x = 0 : ~;+1 6e3x dx + 6ye −y 2 dy = 0, )
v= 2e3x − 3e−y 2 = c. 5) dy dx = ex − y : ~+1 e y dy − e x dx = 0, )
v= e y − e x = c. 6) x 2 (1 − y) dy + y 2 (1 + x) dx = 0 : = xy 6= 0 , ~+1 (1/x2 + 1/x) dx + (1/y2 − 1/y) dy = 0. )
v= 1/x + 1/y + ln[y/(cx)] = 0. >8wN? , x = 0 g y = 0, 6?Yc@A= X. 7) 3ex tan y dx + (1 − e x ) sec2 y dy = 0, y(1) = π/4 : ~;+1 −3 tan y d(ex−1)+(ex−1) d tan y = 0, wxA S (ex−1)−4 , v d h (ex − 1)−3 tan y i = 0, )
v= (ex − 1)−3 tan y = c,  tan y = c (ex − 1)3 , @ 1 y = arctan[[ex − 1)3 / (e − 1)3 ]. 8) x p 1 + y 2 + y √ 1 + x 2 dy dx = 0, y (0) = 1 2: = 1 √ 1 + x 2 + p 1 + y 2 = c. @ 1 y = r³√ 1 + x 2 − 1 − √ 2 ´2 − 1. 9) (1 + x) y dx + x (1 − y) dy = 0, y (2) = 0 2: @ 1 y = 0 (YBu= ln((xy)/c) = y − x Xv i). 10) xy ³ 1 + x 2 ´ dy dx = 1 + y 2 , y (1) = 0. : ~+1 d(1 + y 2 )/d(x 2 ) = (1 + y 2 )/[x 2 (1 + x 2 )],
:*v d(1 + y 2 )/(1 + y 2 ) = [1/x2 − 1/(1 + x 2 )]d(x 2 ), )
v= 1 3