第3期 刘胜久，等：基于矩阵运算的超网络构建方法研究及特性分析 ·363· 说，其各层网络节点数目、边数目及密度可根据边 表29类超网络统计表 际度分布多项式的分析研究得到： Table 2 Statistics of9 supernetworks Ivol=I=ΠPoly(G 编号 数量 运算 类型 Khatri-.Rao积运算 自相似超网络 .(s. 2 Khatri--Rao和运算 2 Eo Khatri-Rao积运算 Density(S()= IVI(V-1) Khatri-Rao和运算 (16) Khatri--Rao积运算 Sm可简记为 Khatri--Rao和运算 随机超网络 Sm=又Sa (17) Khatri--Rao积运算 2.3不同组合超网络模型 6 Khatri--Rao和运算 拓展上文中超网络生成方法，可得出一般情形 Khatri-Rao积运算 下基于矩阵运算超网络生成方法。通过一个、有限 Khatri-Rao和运算 多个，乃至无限多个超网络Khatri--Rao积运算和/ 尚不明确 或Khatri-Rao和运算，可得到9类超网络模型，如 Khatri--Rao积运算 表2所示，9类超网络相互之间的关系如图1所示。 Khatri-Rao和运算 1个超网路 r个超网络 0个超网络 Khatri-Rao积运算 Khatri-Rao积运算 Khatri-Rao积运算 1个超网络 个超网络 o0个超网络 Khatri-Rao和运算 Khatri-Rao和运算 Khatri-.Rao和运算 1个超网络 n个超网络 D个超网络 Khatri-Rao积运算 Khatri-Rao积运算 Khatri-Rao积运算 Khatri-.Rao和运算 Khatri--Rao和运算 Khatri-Rao和运算 图19类超网络关系图 Fig.1 Diagram of9 supernetworks 3基于矩阵运算超网络模型理论分析 的关联与耦合等特征，对联合度分布欠缺必要的应 对策略。对联合度分布相同超网络数量及边际度分 3.1基于矩阵运算超网络数量 布与联合度分布都相同超网络数量的分析有待进一 边际度分布多项式与联合度分布多项式均无法 步深人研究。 反映超网络拓扑结构等特性，相同边际度分布多项 式与联合度分布多项式可能对应不同超网络。 3.2基于矩阵运算超网络敏感性 定理5边际度分布相同超网络数量为各边际 超网络敏感性分析主要对初始超网络波动对基 度分布对应网络数量的乘积，即 于矩阵运算生成超网络的干扰进行研究。本文主要 分析对超网络直径、分形维数和度分布的影响。 Num(Poly(5))=Num(Poly(S)).(i=1.2...n) 定理6增添一个节点与至少一条边到构成自 (18) 相似超网络的任意一个初始图后，自相似超网络直 证明层超网络中，仅分析边际度分布，各层 径增加量不超过2。 网络度分布相互独立，层超网络数量等于各层相互 证明增添一个节点与至少一条边到构成自相 独立网络数量之乘积。定理5得证。 似超网络任一初始图，初始图节点间最短距离不 定理5仅研究边际度分布相同超网络数量，不 变，而初始图原节点到新增节点距离不超过原始图 涉及联合度分布。因联合度分布涉及各层网络之间 直径加1，故超网络直径增量不超过2。定理6得证。说，其各层网络节点数目、边数目及密度可根据边 际度分布多项式的分析研究得到：      V(i) (n)    = ∏n j=1   V(j)i    = ∏n i=1 Poly(G(i))    x=1   E(i) (n)    = 1 2 Poly′ M(i) (S (n) )      x=0 = ∑n j=1     E(j)i    ∏k=n k=1, k,j   V(k)i      Density(S (i) (n) ) = 2   E(i) (n)    |V(n) |(   V(i) (n)   −1) (16) S (n) 可简记为 S (n) = n ∇ i=1 S (i) (17) 2.3 不同组合超网络模型 拓展上文中超网络生成方法，可得出一般情形 下基于矩阵运算超网络生成方法。通过一个、有限 多个，乃至无限多个超网络 Khatri-Rao 积运算和/ 或 Khatri-Rao 和运算，可得到 9 类超网络模型，如 表 2 所示，9 类超网络相互之间的关系如图 1 所示。 3 基于矩阵运算超网络模型理论分析 3.1 基于矩阵运算超网络数量 边际度分布多项式与联合度分布多项式均无法 反映超网络拓扑结构等特性，相同边际度分布多项 式与联合度分布多项式可能对应不同超网络。 定理 5 边际度分布相同超网络数量为各边际 度分布对应网络数量的乘积，即 Num( PolyM(i) (S ) ) = ∏n j=1 Num( PolyM(j) (S ) ) ,(i = 1,2,··· ,n) (18) n n 证明 层超网络中，仅分析边际度分布，各层 网络度分布相互独立， 层超网络数量等于各层相互 独立网络数量之乘积。定理 5 得证。 定理 5 仅研究边际度分布相同超网络数量，不 涉及联合度分布。因联合度分布涉及各层网络之间 的关联与耦合等特征，对联合度分布欠缺必要的应 对策略。对联合度分布相同超网络数量及边际度分 布与联合度分布都相同超网络数量的分析有待进一 步深入研究。 3.2 基于矩阵运算超网络敏感性 超网络敏感性分析主要对初始超网络波动对基 于矩阵运算生成超网络的干扰进行研究。本文主要 分析对超网络直径、分形维数和度分布的影响。 定理 6 增添一个节点与至少一条边到构成自 相似超网络的任意一个初始图后，自相似超网络直 径增加量不超过 2。 证明 增添一个节点与至少一条边到构成自相 似超网络任一初始图，初始图节点间最短距离不 变，而初始图原节点到新增节点距离不超过原始图 直径加 1，故超网络直径增量不超过 2。定理 6 得证。 表 2 9 类超网络统计表 Table 2 Statistics of 9 supernetworks 编号 数量 运算 类型 1 1 Khatri-Rao 积运算 自相似超网络 2 Khatri-Rao 和运算 — 3 Khatri-Rao 积运算 — Khatri-Rao 和运算 4 n Khatri-Rao 积运算 — 5 Khatri-Rao 和运算 随机超网络 6 Khatri-Rao 积运算 — Khatri-Rao 和运算 7 ∞ Khatri-Rao 积运算 尚不明确 8 Khatri-Rao 和运算 9 Khatri-Rao 积运算 Khatri-Rao 和运算 1个超网络 Khatri-Rao积运算 n个超网络 Khatri-Rao积运算 ∞个超网络 Khatri-Rao积运算 1个超网络 Khatri-Rao和运算 n个超网络 Khatri-Rao和运算 ∞个超网络 Khatri-Rao和运算 1个超网络 Khatri-Rao积运算 Khatri-Rao和运算 n个超网络 Khatri-Rao积运算 Khatri-Rao和运算 ∞个超网络 Khatri-Rao积运算 Khatri-Rao和运算 图 1 9 类超网络关系图 Fig. 1 Diagram of 9 supernetworks 第 3 期 刘胜久，等：基于矩阵运算的超网络构建方法研究及特性分析 ·363·