·362· 智能系统学报 第13卷 式(9)中有 表1自相似超网络与门格海绵对比表 Table 1 Comparison between self-similarity supernet- FD(Gd) (12) work and Menger sponge 结合定理3，有2<FDS)<3。引理2得证。 维数 门格海绵 自相似超网络 同时，通过超网络分块矩阵形式邻接矩阵迭代 imTa→0 lim Density(So→0 Khatri--Rao积运算生成的矩阵一样为分块矩阵，对 imLa→o mlo→o 此进行研究，可得到定理4。 m,→o limE 定理4连通且非二分图序列迭代Khatri-Rao iSn→o 1 im D(G≤2DGo） 积运算生成超网络直径不超过初始图直径和的两倍。 证明文献[9]中，连通且非二分图邻接矩阵迭 1og220 分形维数 1og23 代Kronecker积运算生成Kronecker积图直径不超 log2 Vo 过初始图直径两倍。设构成超网络任一图G直径 3 m→0 lim D(S())D(G) 为do,于是自相似超网络任意一层网络中的任意 2.2随机超网络模型 个节点均可在不超过2∑d步内抵达任意一层网 基于矩阵运算随机超网络构建方法为：对于一 络中的任意一个节点。定理4得证。 簇随机选取初始超网络Su,Sa…,Sa,,将Khatri- 根据定理4，计算超网络直径时，通过初始图直 Rao和运算顺次应用于此超网络对应邻接矩阵，可 径可较为便捷得到所生成的自相似超网络直径。进 得到一个新矩阵，其对应超网络就是随机超网络。 步，有引理3。 超网络S。及Sb对应边际节点度分布多项式 引理3N个完全图且非二分图序列迭代 Poly(Sa)、Poly(Sb)中，将Khatri-Rao积运算应 Khatri-Rao积运算生成超网络直径为2W。 用于S.及S6对应邻接矩阵生成超网络Sb的边际节 证明对完全图且非二分图来说，其迭代Kro 点度分布可通过Poly(S.)与Poly(S)的Khatri- necker积图直径为2，完全图且非二分图序列迭代 Rao积运算而得到，即 Khatri-Rao积运算生成超网络各层直径均为2，此 N层超网络直径即为2W。引理3得证。 Poly(Sab】 (14) 与定理4相似，引理3同样只在由连通且非二 类似地，将Khatri-Rao和运算应用于S.及S,对 分图序列生成超网络情形下成立。 应邻接矩阵生成超网络S的边际节点度分布可通 为更清晰论述自相似超网络不同维度的特性， 过式(15)得到： 将连通且非二分图序列迭代Khatri-Rao积运算生成 Vanl Viol 自相似超网络与门格海绵2进行比较，门格海绵分 Poly(S)= drew+dre） (15) 1=1 形维数同样在2~3之间。 门格海绵中，设初始情况下正方体棱长T。=1, 式(I5)为通常意义上多项式乘法。对Khatri- Rao积采用系数相乘且次数相乘，类似地，对Khatri- 正方体数量No=1,周长Lo=12,表面积S。=6,体积 Rao和采用系数相乘且次数相加可得到新超网络边 Vo=l,Tm、Nn、Ln、Sn和Vn分别为第n步迭代后生成门 际度分布。将两个超网络Khatri-Rao积运算边际度 格海绵正方体的棱长、数量、周长、表面积及体积， 分布看成初始超网络边际节点度分布的非线性组 则可以得到： 合，同理，可将两个超网络Khatri-Rao和运算结果 1 limT=lim →0 边际度分布看成初始超网络边际节点度分布的线性 3 To=lim lim N.lim 20No lim 20oo 组合。随机选取的初始超网络，其边际度分布服从 高斯分布，鉴于有限个高斯分布的线性组合同样是 6/201 11 +7 (13) 高斯分布，通过多个初始超网络Khatri-Rao和运算 4 22+】 所得到超网络的边际度分布同样服从高斯分布。 lim S=lim 3 So=lim →00 +w3n- 与此类似，对超网络联合度分布进行分析也可 20 得到与边际度分布相近的结论。 lim V lim 27 V%→0 初始超网络集合{S,S2…,S…}中，对顺次 自相似超网络与门格海绵对比如表1所示。 选取Sa且通过Khatri-Rao和运算生成超网络Sm来式 (9) 中有   ∏N i=1 FD(G(i))   1 N > 1 (12) 结合定理 3，有 2 < FD(S ) < 3 。引理 2 得证。 同时，通过超网络分块矩阵形式邻接矩阵迭代 Khatri-Rao 积运算生成的矩阵一样为分块矩阵，对 此进行研究，可得到定理 4。 定理 4 连通且非二分图序列迭代 Khatri-Rao 积运算生成超网络直径不超过初始图直径和的两倍。 G(i) d(i) ∑N i=1 d(i) 证明 文献[9]中，连通且非二分图邻接矩阵迭 代 Kronecker 积运算生成 Kronecker 积图直径不超 过初始图直径两倍。设构成超网络任一图 直径 为 ，于是自相似超网络任意一层网络中的任意一 个节点均可在不超过 2 步内抵达任意一层网 络中的任意一个节点。定理 4 得证。 根据定理 4，计算超网络直径时，通过初始图直 径可较为便捷得到所生成的自相似超网络直径。进 一步，有引理 3。 N 2N 引理 3 个完全图且非二分图序列迭代 Khatri-Rao 积运算生成超网络直径为 。 N 2N 证明 对完全图且非二分图来说，其迭代 Kro￾necker 积图直径为 2，完全图且非二分图序列迭代 Khatri-Rao 积运算生成超网络各层直径均为 2，此 层超网络直径即为 。引理 3 得证。 与定理 4 相似，引理 3 同样只在由连通且非二 分图序列生成超网络情形下成立。 为更清晰论述自相似超网络不同维度的特性， 将连通且非二分图序列迭代 Khatri-Rao 积运算生成 自相似超网络与门格海绵[20]进行比较，门格海绵分 形维数同样在 2～3 之间。 T0 = 1 N0 = 1 L0 = 12 S 0 = 6 V0 = 1 Tn Nn Ln S n Vn n 门格海绵中，设初始情况下正方体棱长 ， 正方体数量 ，周长 ，表面积 ，体积 ， 、 、 、 和 分别为第 步迭代后生成门 格海绵正方体的棱长、数量、周长、表面积及体积， 则可以得到：    lim n→∞ Tn = lim n→∞ ( 1 3 )n T0 = lim n→∞ 1 3 n → 0 lim n→∞ Nn = lim n→∞ 20nN0 = lim n→∞ 20n → ∞ lim n→∞ Ln = lim n→∞ 12[ 6 17( 20 3 )n + 11 17] → ∞ lim n→∞ S n = lim n→∞ ( 4 3 )n S 0 = lim n→∞ 2 2n+1 3 n−1 → ∞ lim n→∞ Vn = lim n→∞ ( 20 27)n V0 → 0 (13) 自相似超网络与门格海绵对比如表 1 所示。 2.2 随机超网络模型 S (1),S (2),··· ,S (i) ,··· 基于矩阵运算随机超网络构建方法为：对于一 簇随机选取初始超网络 ，将 Khatri￾Rao 和运算顺次应用于此超网络对应邻接矩阵，可 得到一个新矩阵，其对应超网络就是随机超网络。 S a S b PolyM(i) (S a) PolyM(i) (S b) S a S b S ab PolyM(i) (S a) PolyM(i) (S b) 超网络 及 对应边际节点度分布多项式 、 中，将 Khatri-Rao 积运算应 用于 及 对应邻接矩阵生成超网络 的边际节 点度分布可通过 与 的 Khatri￾Rao 积运算而得到，即 PolyM(i) (S ab) = | ∑Va(i)| j=1 | ∑Vb(i)| k=1 x d(v(a)j)×d(v(b)k ) (14) S a S b S ′ ab 类似地，将 Khatri-Rao 和运算应用于 及 对 应邻接矩阵生成超网络 的边际节点度分布可通 过式 (15) 得到： PolyM(i) (S ′ ab) = | ∑Va(i)| j=1 | ∑Vb(i)| k=1 x d(v(a)j)+d(v(b)k ) (15) 式 (15) 为通常意义上多项式乘法。对 Khatri￾Rao 积采用系数相乘且次数相乘，类似地，对 Khatri￾Rao 和采用系数相乘且次数相加可得到新超网络边 际度分布。将两个超网络 Khatri-Rao 积运算边际度 分布看成初始超网络边际节点度分布的非线性组 合，同理，可将两个超网络 Khatri-Rao 和运算结果 边际度分布看成初始超网络边际节点度分布的线性 组合。随机选取的初始超网络，其边际度分布服从 高斯分布，鉴于有限个高斯分布的线性组合同样是 高斯分布，通过多个初始超网络 Khatri-Rao 和运算 所得到超网络的边际度分布同样服从高斯分布。 与此类似，对超网络联合度分布进行分析也可 得到与边际度分布相近的结论。 { S (1),S (2),··· ,S (i) ,···} S (i) S (n) 初始超网络集合 中，对顺次 选取 且通过 Khatri-Rao 和运算生成超网络 来 表 1 自相似超网络与门格海绵对比表 Table 1 Comparison between self-similarity supernet￾work and Menger sponge 维数 门格海绵 自相似超网络 1 lim n→∞ Tn → 0 lim i→∞ Density(S (i) ) → 0 lim n→∞ Ln → ∞ lim n→∞ Nn → ∞ lim j→∞   V(i) (j)    → ∞ lim j→∞   E(i) (j)    → ∞ 2 lim n→∞ S n → ∞ lim n→∞ D(G(i) (n) ) ⩽ 2D(G(i)) 分形维数 log2 20 log2 3 1+   ∏n j=1 log2 2    E(i) j     log2    V(i) j       1 n 3 lim n→∞ Vn → 0 lim n→∞ D(S (i) ) ⩽ 2 ∑n i=1 D(G(i)) ·362· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷