第3期 刘胜久，等：基于矩阵运算的超网络构建方法研究及特性分析 ·361· A与B的Khatri-Rao积运算可表示为 与次数之间的相乘。定理1得证。 A*B=(A⑧B) (5) 超网络邻接矩阵Khatri-Rao积运算过程中，各 A与B的Khatri-Rao和运算18可表示为 分块矩阵Kronecker积运算相互独立，定理1涉及 AVB=A*I+I*B (6) 的超网络边际度分布多项式的规律可应用到联合度 2基于矩阵运算超网络模型 分布多项式中，则有引理1。 引理1超网络迭代Khatri-Rao积超网络联合 2.1自相似超网络模型 度分布多项式可对联合度分布多项式进行系数相乘 对于一个节点数目相同图序列的邻接矩阵构成 且次数相乘得到。 的分块矩阵A,分别用A的各分块矩阵与自身相乘 证明分块矩阵Khatri-Rao积运算操作中，各 生成的矩阵去更换自身，会生成局部与整体自相似 分块矩阵Kronecker积运算相互独立，则可进行组 的一个新矩阵，将此操作不断延续下去，可以生成 合。各分块矩阵Kronecker积运算结果可通过边际 自相似的一簇新矩阵。这些新矩阵可看成邻接矩 度分布多项式系数相乘且次数相乘得到，则分块矩 阵，对应超网络即为A迭代Khatri-Rao积运算的结 阵Khatri-Rao积运算结果同样可根据联合度分布多 果，也就是自相似超网铬。 项式系数相乘及次数相乘操作获取。引理1得证。 在文献[I8]中，Liu研究了Khatri-Rao积运算的 分形理论方面，论证一图形是分形图形的实质 些特性。此处，将超网络对应的邻接矩阵看成各 是计算其分形维数。本文通过对自相似超网络进行 个图邻接矩阵构成的分块矩阵，则其Khatri-Rao积 研究，计算出此类自相似超网络分形维数。 运算的结果就是各个图邻接矩阵Kronecker积运算 定理2超网络迭代Khatri-Rao积运算生成自 所得到的结果。 相似超网络分形维数表述为生成此超网络各自相似 对超网络来说，其邻接矩阵中，各分块矩阵的 网络分形维数几何平均值与1之和，即 列数或行数代表此层网络节点数目，分块矩阵的数 目代表超网络的层数，超网络密度为各层中网络密 og22 E0 FD(S) log,Vol (9) 度的算术平均值，于是有 Vo =Vo 证明 文献[9]中，迭代Kronecker积图的自相 Eu=2E 似网络分形维数表述为图边数两倍对数值与节点数 (7) 对数值之比。自相似超网络方面，其分形维数体现 Density(S)= N i=l 为自相似网络分形维数的融合，由于其层次形态的 S可简记为 特征，根据余维相加定律，故为各自相似网络的分 S0=0S (8) 形维数几何平均值与1之和。定理2得证。 超网络边际度分布多项式与联合度分布多项式 定理3超网铬迭代Khatri-Rao积运算生成自 都将节点度看成单项式次数。直接对初始超网络边 相似超网络分形维数一定不会超过3。 际度分布多项式与联合度分布多项式进行计算可得 证明自相似网络分形维数一定不会超过2， 到超网络迭代Khatri-.Rao积运算的边际度分布多项 式(9)中有 式与联合度分布多项式，则有定理1。 定理1超网络迭代Khatri--Rao积超网络的边 FD(G) (10) 际度分布多项式可对边际度分布多项式进行系数相 显然，定理3成立。定理3得证。 乘且次数相乘得到。 通常情况下，只对连通且非二分图序列的迭代 证明分块矩阵迭代Khatri--Rao积运算等同于 Khatri-Rao积运算生成的超网络进行研究，基于定 对分块矩阵的各分块进行迭代Kronecker积运算操 理3，则有引理2。 作，而超网络边际度分布多项式就是各分块对应网 引理2连通且非二分图序列迭代Khatri- 络的度分布多项式。Kronecker积运算为两个矩阵 Rao积运算生成超网络分形维数在2~3之间。 的各行分别进行相乘运算，生成的结果矩阵中各行 证明对连通且非二分图Go而言，有Eo≥ 非零元素的数目就是节点所对应的边际度。可将矩 阵各行非零元素数目看成单项式次数，通过超网络 Vo-1≥2，则有 边际度分布多项式对超网络边际度分布进行处理 10g22 E 10g22(Vio-1) FD(G)= >1 (11) 时，行之间的相乘在边际度分布多项式中就是次数 log2 Vol log2 VoA 与 B 的 Khatri-Rao 积运算[17]可表示为 A∗ B = ( Ai j ⊗ Bi j) i j (5) A 与 B 的 Khatri-Rao 和运算[18]可表示为 A∇B = A∗ I+ I ∗ B (6) 2 基于矩阵运算超网络模型 2.1 自相似超网络模型 对于一个节点数目相同图序列的邻接矩阵构成 的分块矩阵 A，分别用 A 的各分块矩阵与自身相乘 生成的矩阵去更换自身，会生成局部与整体自相似 的一个新矩阵，将此操作不断延续下去，可以生成 自相似的一簇新矩阵。这些新矩阵可看成邻接矩 阵，对应超网络即为 A 迭代 Khatri-Rao 积运算的结 果，也就是自相似超网络。 在文献[18]中，Liu 研究了 Khatri-Rao 积运算的 一些特性。此处，将超网络对应的邻接矩阵看成各 个图邻接矩阵构成的分块矩阵，则其 Khatri-Rao 积 运算的结果就是各个图邻接矩阵 Kronecker 积运算 所得到的结果。 对超网络来说，其邻接矩阵中，各分块矩阵的 列数或行数代表此层网络节点数目，分块矩阵的数 目代表超网络的层数，超网络密度为各层中网络密 度的算术平均值，于是有      V(i) (k)    =   V(i)    k+1   E(i) (k)    = 2 k   E(i)    k+1 Density(S (k) ) = 1 N ∑N i=1 Density(G(i) (k) ) (7) S (k) 可简记为 S (i) = ∗(i) S (8) 超网络边际度分布多项式与联合度分布多项式 都将节点度看成单项式次数。直接对初始超网络边 际度分布多项式与联合度分布多项式进行计算可得 到超网络迭代 Khatri-Rao 积运算的边际度分布多项 式与联合度分布多项式，则有定理 1。 定理 1 超网络迭代 Khatri-Rao 积超网络的边 际度分布多项式可对边际度分布多项式进行系数相 乘且次数相乘得到。 证明 分块矩阵迭代 Khatri-Rao 积运算等同于 对分块矩阵的各分块进行迭代 Kronecker 积运算操 作，而超网络边际度分布多项式就是各分块对应网 络的度分布多项式。Kronecker 积运算为两个矩阵 的各行分别进行相乘运算，生成的结果矩阵中各行 非零元素的数目就是节点所对应的边际度。可将矩 阵各行非零元素数目看成单项式次数，通过超网络 边际度分布多项式对超网络边际度分布进行处理 时，行之间的相乘在边际度分布多项式中就是次数 与次数之间的相乘。定理 1 得证。 超网络邻接矩阵 Khatri-Rao 积运算过程中，各 分块矩阵 Kronecker 积运算相互独立，定理 1 涉及 的超网络边际度分布多项式的规律可应用到联合度 分布多项式中，则有引理 1。 引理 1 超网络迭代 Khatri-Rao 积超网络联合 度分布多项式可对联合度分布多项式进行系数相乘 且次数相乘得到。 证明 分块矩阵 Khatri-Rao 积运算操作中，各 分块矩阵 Kronecker 积运算相互独立，则可进行组 合。各分块矩阵 Kronecker 积运算结果可通过边际 度分布多项式系数相乘且次数相乘得到，则分块矩 阵 Khatri-Rao 积运算结果同样可根据联合度分布多 项式系数相乘及次数相乘操作获取。引理 1 得证。 分形理论方面，论证一图形是分形图形的实质 是计算其分形维数。本文通过对自相似超网络进行 研究，计算出此类自相似超网络分形维数。 定理 2 超网络迭代 Khatri-Rao 积运算生成自 相似超网络分形维数表述为生成此超网络各自相似 网络分形维数几何平均值与 1 之和，即 FD(S ) = 1+   ∏n i=1 FD(G(i))   1 n = 1+   ∏n i=1 log22   E(i)    log2   V(i)      1 n (9) 证明 文献[9]中，迭代 Kronecker 积图的自相 似网络分形维数表述为图边数两倍对数值与节点数 对数值之比。自相似超网络方面，其分形维数体现 为自相似网络分形维数的融合，由于其层次形态的 特征，根据余维相加定律[19] ，故为各自相似网络的分 形维数几何平均值与 1 之和。定理 2 得证。 定理 3 超网络迭代 Khatri-Rao 积运算生成自 相似超网络分形维数一定不会超过 3。 证明 自相似网络分形维数一定不会超过 2， 式 (9) 中有   ∏N i=1 FD(G(i))   1 N < 2 (10) 显然，定理 3 成立。定理 3 得证。 通常情况下，只对连通且非二分图序列的迭代 Khatri-Rao 积运算生成的超网络进行研究，基于定 理 3，则有引理 2。 引理 2 连通且非二分图序列迭代 Khatri￾Rao 积运算生成超网络分形维数在 2～3 之间。 G(i)   E(i)    ⩾   V(i)   −1 ⩾ 2 证明 对连通且非二分图 而言，有 ，则有 FD(G(i)) = log22   E(i)    log2   V(i)    ⩾ log22 (  V(i)   −1 ) log2   V(i)    > 1 (11) 第 3 期 刘胜久，等：基于矩阵运算的超网络构建方法研究及特性分析 ·361·