9.不确定关系 以上仅考虑了单个力学量的测量值和测量几率,两个或两个以上力学量的测量有什关 系? 在任意态v),力学量A的不确定度由方差决定 (△4)=w(a-(4)y)=),其中12=(-(4)y) 力学量B的不确定度由方差决定 (△B)=(B-(8)l)-gg),其中g)(2-)v A,B两个力学量的不确定关系由(④△)(△B)描述 (△)(△8)=(g 由 Schwarz不等式,对任意矢量a),B), 有 (alay(BlB)2k(alB) 故 (△n)(△8)2/ 对于任意复数Z (△)( )=(w(4-(4)B-(B)w)=(v1B-(B)-(B+(4)(B)y) (B)-(2)(8-(2(6)+(1)(B)=(18)-(1)(B 同理,(g1)=(B1)-(B)(2) (△(0(0622小) 其中对易子 AB1=AB-B。 这就是两个力学量算符取值的不确定关系9. 不确定关系 以上仅考虑了单个力学量的测量值和测量几率，两个或两个以上力学量的测量有什关 系？ 在任意态 ψ ，力学量 A 的不确定度由方差决定 ( ) ( ) ( ) 2 2 ∆ ≡ A A ψ ψ ˆ ˆ − A = f f ，其中 f = A− A ψ 力学量 B 的不确定度由方差决定 ( ) ( ) ( ) 2 2 ∆ ≡ B B ψ ψ ˆ ˆ − B = g g ，其中 g = B − B ψ A，B 两个力学量的不确定关系由 ( ) ( ) 2 2 ∆A ∆B 描述 ( ) ( ) 2 2 ∆ ∆ A B f = f g g 。 由 Schwarz 不等式，对任意矢量 α ，β ， 有 2 α α β β ≥ α β ， 故 ( ) ( ) 2 2 2 ∆ ∆ A B f ≥ g ∵对于任意复数 Z， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 * Re Im Im Z 2 Z Z Z Z Z i ⎛ ⎞ = + ≥ = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 A B f g f g g f i ⎛ ⎞ ∴ ∆ ∆ ≥ ≥ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ( )( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ+ ˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + f g A A B B AB A B A B A B AB A B A B A B AB A B = − ψ ψ − = ψ − − ψ = − − = − ∵ 同理， ˆ ˆ ˆ ˆ g f = − BA B A ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , 2 2 A B AB BA A B i i ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ∴ ∆ ∆ ≥ − = ⎡ ⎤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ˆ ˆ ， 其中对易子 ˆ ˆ ˆ ˆ ⎡ ⎤ A, B = AB − BA ⎣ ⎦ 。 这就是两个力学量算符取值的不确定关系。 1