说明:如果两个力学量算符不对易,即[1B≠0,则它们不可能在同一态都有确定值。如 果两个力学量算符对易,则它们可能在某个态都有确定值 例1:在坐标表象计算[x, 分部积分h0(x1)(x-x)(x-边x(xx)(x 同理可证, ih dxx 故1=D(△)(49y)2 说明:在任意态,坐标与动量都不可能同时有确定值。以平面波态为例,在坐标表象, xv 动量有确定值。但坐标取值为x的几率 (rlv) 说明粒子在-∞<x<∞出现的几率处处相等,坐标的取值完全不确定。 例2:证明表象变换不改变对易关系。 设在F表象,有 则在G表象, LAg,Ba=AcBG-BCAG=SAS-'SB S--SB"-=S(Ap B-BAr)S=SC S-=CG 说明:对易关系是量子力学基本关系。 例3:用不确定关系估计基态能。 r(=00 其它说明：如果两个力学量算符不对易，即 ，则它们不可能在同一态都有确定值。如 果两个力学量算符对易，则它们可能在某个态都有确定值。 ˆ ˆ ⎡ ⎤ A B, ≠ ⎣ ⎦ 0 例 1：在坐标表象计算[ xˆ ˆ , p] xˆˆp dxdx ' ' xˆ x x pˆ x x ' dxdx ' x x -i (x x ') x ' x δ ⎛ ⎞ ∂ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∫ ∫ = − dxdx ' ( i ( ) x x x x ') x ' dx i ( x x ) x x x δ ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∫ ∫ 分部积分 = = dx i x x i x x x i i dxx x x x x ⎛ ⎛ ⎞ ∂ ⎞ ⎛ ⎞ ∂ ⎜ ⎟ + = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∂ ∂⎝ ⎠ ∫ ∫ = = = = = 同理可证， pxˆ ˆ=i dxx x x x ⎛ ⎞ ∂ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂ ∫ = ， 故 [ ] ( ) ( ) 2 2 2 ˆ ˆ , , 4 x p = ∆ i x ∆p ≥ = = 。 说明：在任意态，坐标与动量都不可能同时有确定值。以平面波态为例，在坐标表象， 1 e 2 i px x ψ π = = = ， 动量有确定值。 但坐标取值为 x的几率 2 1 2 x ψ π = = ， 说明粒子在−∞ < x < ∞ 出现的几率处处相等，坐标的取值完全不确定。 例 2：证明表象变换不改变对易关系。 设在 F 表象，有 ˆ ˆ ˆ , A B F F CF ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ ， 则在 G 表象， ( ) 1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , AG BG AG BG BG AG F F F F F F F F F G SA S SB S SB S SA S S A B B A S SC S C − − − − − − ⎡ ⎤ =−= − = − = = ⎣ ⎦ ˆ 说明：对易关系是量子力学基本关系。 例 3：用不确定关系估计基态能。 0 0< a ( )= x V x ⎧ < ⎨ ⎩∞ 其它 2