a> (3)e sin wt,A>0, w>0 sin wt 2.若f(t)为周期函数,周期为α,即f(t+a)=f(t),t>0.如果f(t)的 Laplace变换 存在,证明:像函数是 e-ptf(t)dt 3.求下列函数的 Laplace换式 (1)Isin wt, w>0 >0. 4.求下列 Laplace换式的原函数 (2) p(2+a2)u> 0; (p2+p)(4p2 u2) T>0: a>0 5.利用 Laplace变换求解下列微分方程(组)或积分方程 (1)如图9.1,已知i(0)=0,q(0)=0,求) L Eo sin ot C〓乏R (2)如图9.2,已知i(0)=0.,q(0)=0,求计() (3)y()= a sint-2/)o(t-r)dr;()f()+2/f(ost-)dr=92 6.利用 Laplace变换计算下列积分: △a-ax cos cr dz, a>0,b>0,c>0 ∞1- cos dr,b>0 SIn t 7.用普遍反演公式求下列 Laplace换式的原函数:Wu Chong-shi 12 ￾ ❅ ✂ (1) t n, n = 0, 1, 2, · · · ; (2) t α, Re α > −1; (3) eλt sin ωt, λ > 0, ω > 0; (4) sin ωt t , ω > 0; (5) 1 − cos ωt t 2 , ω > 0; (6) Z ∞ t cos τ τ dτ. 2. ❨ f(t) ✛❤❆✣✏✷❤❆✛ α ✷❇ f(t + α) = f(t), t > 0 P✸✹ f(t) ✑ Laplace ✢❃ ❈ ❃✷❋●✚❉✣✏✜ F(p) = 1 1 − e−αp Z α 0 e −ptf(t)dt. 3. ✱✌✍✣✏✑ Laplace ❃❄✚ (1) |sin ωt| , ω > 0; (2) t − a  t a  , a > 0. 4. ✱✌✍ Laplace ❃❄✑ ❦ ✣✏✚ (1) a 3 p(p + a) 3 ; (2) ω p ￾ p 2 + ω2
, ω > 0; (3) 4p − 1 (p 2 + p)(4p 2 − 1); (4) p 2 + ω 2 (p 2 − ω2) 2 , ω > 0; (5) e −pτ p 2 , τ > 0; (6) 1 p e −αp 1 − e−αp , α > 0. 5. ◗✧ Laplace ✢❃✱❉✌✍ï◆▲▼ (→) ❳➓◆▲▼✚ (1) ✸✪ 9.1 ✷❙❚ i(0) = 0, q(0) = 0, ✱i(t); ❸ 9.1 ❸ 9.2 (2) ✸✪ 9.2 ✷❙❚ i(0) = 0, q(0) = 0, ✱i(t); (3) y(t) = a sin t − 2 Z t 0 y(τ) cos(t − τ)dτ; (4) f(t) + 2 Z t 0 f(τ) cos(t − τ)dτ = 9e2t . 6. ◗✧ Laplace ✢❃➑➒✌✍➓◆✚ (1) Z ∞ 0 e −ax − e −bx x cos cx dx, a > 0, b > 0, c > 0; (2) Z ∞ 0 1 − cos bx x 2 dx, b > 0; (3) Z ∞ 0 sin xt x(x 2 + 1)dx. 7. ✧❊❋❽●❍❄✱✌✍ Laplace ❃❄✑ ❦ ✣✏✚