第二章多元函数微分法 第二章多元函数微分学 第三节复合函数微分法 2-3复合函数微分法 2-3-1复合函数导数公式 2-3-2方向导数与梯度 第四讲复合函数微分法 课后作业: 阅读:第二章第三节:pp.40--49 预习:第二章第四节:pp50--58 作业:第二章习题3:pp.49-50:1,(2,(3,(5);2;4;6;7;9 2-3复合函数微分法 2-3-1复合函数导数公式 (一)任何具体的初等多元函数的偏导数均可由一元函数求导公式解决,例如, 对函数二= Xoos y,求与些是简单的: aaa COS yy J cos. (-)cos I-sin 2.sin 2 在求导中利用了中间变量u=x,y=2,z=f(u,y)= sin u cOs 及一元函数的复合函数求导公式 但是,若要研究像二=f(x,2)这样带一般性结构函数的导数就不是一 元复合函数求导公式所能胜任的了。而必须讨论多元函数复合函数微分法则 (二)复合函数微分法 首先考虑一种最简单的情形,即只有两个自变量,两个中间变量 的情形:二=f(u,v), u=u(x,) v =v(x, 定理设二元函数=f(un,v)在点(V0)处偏导数连续, 二元函数u=l(x,y)v=v(x,y)在点(x0y0)处偏导数连续, 并且0=l(xo3y0)3vo=v(xoyo).则 复合函数z=f(u(xy),v(x,y)在点(x0,y0)处可微,且 第三节复合函数微分法第二章 多元函数微分法 第三节 复合函数微分法 第二章 多元函数微分学 第三节 复合函数微分法 2-3 复合函数微分法 2-3-1 复合函数导数公式 2-3-2 方向导数与梯度 第四讲 复合函数微分法 课后作业： 阅读：第二章 第三节 : pp. 40----49 预习：第二章 第四节 : pp. 50---58 作业: 第二章 习题 3: pp.49---50 : 1,(2), (3, (5); 2; 4; 6; 7; 9. 2-3 复合函数微分法 2-3-1 复合函数导数公式 (一) 任何具体的初等多元函数的偏导数均可由一元函数求导公式解决，例如， 对函数 x y y x z = sin cos ,求 y z x z     与 是简单的: x y x y x y y x y y x x z cos sin ( )sin 1 cos 2 =  − −   y x x x y x y y x y x y z sin 1 cos ( ) cos sin 2 =  − −    在求导中利用了中间变量 x y v y x u = , = ， z = f (u,v) = sin u cos v 及一元函数的复合函数求导公式. 但是,若要研究像 ( , ) x y y x z = f 这 样带一般性结构函数的导数就不是一 元复合函数求导公式所能胜任的了。而必须讨论多元函数复合函数微分法则. (二) 复合函数微分法 首先考虑一种最简单的情形,即只有两个自变量,两个中间变量 的情形: z = f (u,v) ,    = = ( , ), ( , ), v v x y u u x y 定理 设 二元函数 z = f (u,v) 在点 ( , ) 0 0 u v 处偏导数连续， 二元函数 u = u(x, y), v = v(x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处偏导数连续, 并且 ( , ), ( , ) 0 0 0 0 0 0 u = u x y v = v x y . 则 复合函数 z = f (u(x, y), v(x, y)) 在点 ( , ) 0 0 x y 处可微，且