11.设∫(x)在[上连续,且f(x)>0。研究函数 yf(x) 的连续性。 解设x2≠0,由于()在[.×团。圆,+上连续,可知 1)=y(0)在x≠0处连续。 设y=0,则1()=1(0)=0。由于f(x)在上连续,且f(x)>0, 所以(x)在[上的最小值m>0,当y>0时,成立y(x)≥-m”, 于是 0)2oy dx= mactan 由加(m0=m0,可知址m(20=10,即)=在 y=0处不连续 注在本题中可证明lm1(y)=xf(0)与lm1(y)=-xf(0),其中f(0)≠0, y→)0+ 由此也说明了I(y)在y=0点不连续。证明如下: vE>0,取n>0,使得当0<x<n时,(x)-f(0)<2,则 y0x)2a-y0)ak三 对固定的n>0,取δ>0,使得当0<ykδ时, y(x,dxk5,于是 yf(x) d-0 yf(0) dxkE。 分别令y→0+与y→0-,由 lim ro y (o)dx=Tr(O), lim o? yf(0)z w z w y w x w z ∂ ∂ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 。 11．设 f (x)在[0,1]上连续，且 f (x) > 0。研究函数 ∫ + = 1 0 2 2 ( ) ( ) dx x y yf x I y 的连续性。 解 设 y0 ≠ 0 ，由于 2 2 ( ) x y yf x + 在 0 0 0 [0,1] [ , ] 2 2 y y × − y y + 0 上 连续，可知 ∫ + = 1 0 2 2 ( ) ( ) dx x y yf x I y 在 y0 ≠ 0处连续。 设 ，则 。由于 在 上连续，且 ， 所以 在 上的最小值 ，当 时，成立 0 y = 0 0 I y( ) = I(0) = 0 f (x) [0,1] f (x) > 0 f (x) [0,1] m > 0 y > 0 2 2 2 2 ( ) x y my x y yf x + ≥ + ， 于是 1 2 2 0 1 ( ) arctan y I y m dx m x y y ≥ = + ∫ ， 由 0 1 lim ( arctan ) 0 y 2 m m y π → + = > ，可知 0 lim ( ) 0 (0) y I y I → + ≠ = ，即 ∫ + = 1 0 2 2 ( ) ( ) dx x y yf x I y 在 y0 = 0处不连续。 注 在本题中可证明 (0) 2 lim ( ) 0 I y f y π = → + 与 (0) 2 lim ( ) 0 I y f y π = − → − ，其中 ， 由此也说明了 在 点不连续。证明如下： f (0) ≠ 0 I( y) y = 0 ∀ε > 0，取η > 0 ，使得当0 < x < η 时， π ε f (x) − f (0) < ，则 ∫ + η 0 2 2 ( ) | dx x y yf x 2 | (0) 0 2 2 η ε < + − ∫ dx x y yf 。 对固定的η > 0 ，取δ > 0 ，使得当0 <| y |< δ 时， 2 | ( ) | 1 2 2 ε η < + ∫ dx x y yf x ，于是 ∫ + 1 0 2 2 ( ) | dx x y yf x ε η < + − ∫ | (0) 0 2 2 dx x y yf 。 分别令 y → 0 + 与 y → 0 − ，由 (0) 2 (0) lim 0 2 2 0 dx f x y yf y η π = + ∫ → + ， (0) 2 (0) lim 0 2 2 0 dx f x y yf y η π = − + ∫ → − 8