E"(k) k sir k2-1 (1-k 1 2 costd sin t 所以 E"(k)+:E'(k) E(k) dt [2V1-k2sin2 tdt E(k) =0。 10.设函数f(u,y)在R2上具有二阶连续偏导数。证明:函数 w(x,y,=)=f(x+=cosP,+= o)d 满足偏微分方程 证由直接计算,可得 fande fry de L (u coso+f, sin p)ds +f sin 2+frm sin-do 于是 fsin2q+∫y 另一方面,由分部积分可得 f r L(=sin )+fu=coso] f, sin do= [r(-= p)+fr=cos ]cos odp 所以E′′(k) = ∫ ∫ − − − − − 2 0 2 3 2 2 2 2 0 2 2 2 sin (1 sin ) cos 1 1 1 1 sin 1 π π d t k t t k t k dt k = ∫ ∫ − − − − − 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 1 sin sin cos 1 1 1 1 sin 1 π π k t t td k t k dt k = dt k t t k t k dt k ∫ ∫ − − − − − 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 1 sin sin 1 1 1 1 sin 1 π π ， 所以 2 1 ( ) ( ) 1 ( ) k E k E k k E k − ′′ + ′ + = 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 1 ( ) 1 sin ( 1)sin 1 1 1 sin cos 1 1 k E k dt k t k t k t k tdt k − + − − − − − − ∫ ∫ π π = 2 2 0 2 2 2 1 ( ) 1 sin 1 1 k E k k tdt k − − + − ∫ π = 0。 10．设函数 f (u, v) 在 2 R 上具有二阶连续偏导数。证明：函数 ∫ = + + π ϕ ϕ ϕ 2 0 w(x, y,z) f (x z cos , y zsin )d 满足偏微分方程 z w z w y w x w z ∂ ∂ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 。 证 由直接计算，可得 = ∂ ∂ x w ∫ π ϕ 2 0 fu d ， = ∂ ∂ 2 2 x w ∫ π ϕ 2 0 fuu d ， = ∂ ∂ y w ∫ π ϕ 2 0 f vd ， = ∂ ∂ 2 2 y w ∫ π ϕ 2 0 f vvd ， = ∂ ∂ z w ∫ + π ϕ ϕ ϕ 2 0 ( fu cos f v sin )d ， = ∂ ∂ 2 2 z w ∫ + + π ϕ ϕ ϕ ϕ 2 0 2 2 ( fuu cos fuv sin 2 f vv sin )d ， 于是 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 z w y w x w z ∫ − + π ϕ ϕ ϕ ϕ 2 0 2 2 z ( fuu sin fuv sin 2 f vv cos )d 。 另一方面，由分部积分可得 ∫ ∫ = − − + π π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 2 0 2 0 fu cos d [ fuu ( zsin ) fuv z cos ]sin d ， ∫ = ∫ − + ， π π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 2 0 2 0 f v sin d [ f vu ( zsin ) f vv z cos ]cos d 所以 7