(a) dx, a- sinx+6-cos-x 记 sIn x Cos x A dx, B= 0 a sin 2xtb2 cos 2 x a- sin-x+b- cos- x 则 A+b2B d ta a+B 2 sin2xtb =- arctan-tan x2=。 2ab 由此解得 A= 于是 (a) a+b 积分后得到 /(a)=丌ln(a+b)+C。 由1(0)=x3,得到C=-zmn2,从而1(a)=xm2+b,或者一般地有 l(a)=In a/+ b 2 9.证明:第二类椭圆积分 e(k) 满足微分方程 E"(k)+E(k)+ E(k) =0。 证直接计算,有 E(k)=[2-ksin't Elk dt dt In k- sin- t sin t+ cos t k2(1-k2sin()2 于是I′(a) = ∫ + 2 0 2 2 2 2 2 sin cos 2 sin π dx a x b x a x ， 记 A = ∫ + 2 0 2 2 2 2 2 sin cos sin π dx a x b x x ，B = ∫ + 2 0 2 2 2 2 2 sin cos cos π dx a x b x x ， 则 2 2 2 π a A + b B = ， A + B = ∫ + 2 0 2 2 2 2 sin cos π a x b x dx ∫ + = 2 0 2 2 2 tan tan π a x b d x ab x b a ab 2 arctan tan 1 0 2 π π = = 。 由此解得 ( ) 1 2 a a b A + = π ， 于是 I′(a) = a + b π ， 积分后得到 I C (a) = π ln(a + b) + 。 由 2 (0) ln b I = π ，得到C = −π ln 2，从而 I(a) = 2 ln a + b π ，或者一般地有 I(a) = 2 ln a + b π 。 9．证明：第二类椭圆积分 ( ) 1 sin (0 1) 2 0 2 2 = − < < ∫ E k k tdt k π 满足微分方程 0 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 = − ′′ + ′ + k E k E k k E k 。 证 直接计算，有 ∫ − − ′ = 2 0 2 2 2 1 sin sin ( ) π dt k t k t E k ， ∫ ∫ ∫ − = − − − − ′′ = − 2 0 2 3 2 2 2 2 0 2 3 2 2 2 4 2 0 2 2 2 (1 sin ) sin (1 sin ) sin 1 sin sin ( ) π π π dt k t t dt k t k t dt k t t E k = ∫ ∫ − + − − 2 0 2 3 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 (1 sin ) sin cos 1 sin π π dt k k t t t k k t dt ， 于是 6