(1)「21n(a2 x)dx (a>1) (2)JoIn(I-2acosx+a')dr (ak) 3)[2In(a?sin'x+b2cos'x 解(1)设1)= in2x)dx,则 2 2 (a) a-sin x 0 a cotx+a 于是 I(a)=In( 令a→1+,则 1)=22 xdx=-TIn2 所以 (a)=丌ln (2)设/a)=m(1-2acx+a2),则10)=0。设a≠0,由于 a-2 coS x -2a+a 作变换t=tn,得到 (a)=4 a-1+(a+1)t dt [(-a)2+(1+a)1](1 + 2 a- (1-a)2+(1+a)2t2 +a 所以(a)=C,再由(0)=0,得到 (a)=0(al<1 3)设 x,且不妨设a>0,b>0 当a=b时,f(a)= z Ina。以下设a≠b 由于（1） ln( sin ) ( 1) 2 0 2 2 − > ∫ a x dx a π ； （2）∫0 ln(1− 2α cos +α2 ) (|α |< 1) ； π x dx （3）∫ + 2 0 2 2 2 2 ln( sin cos ) π a x b x dx 。 解（1）设I(a) = ∫ 2 − 0 2 2 ln( sin ) π a x dx ，则 I′(a) = ∫ ∫ + − = − − 2 0 2 2 2 2 0 2 2 cot cot 1 2 sin 2 π π d x a x a a dx a x a 0 2 2 2 1 cot arctan 1 2 π − − = − a a x a 1 2 − = a π ， 于是 I(a) = ln(a + a −1) + C 2 。 令a →1+ ，则 C = I(1) = 2 2 ln cos ln 2 0 π π = − ∫ xdx ， 所以 I(a) = 2 1 ln 2 a + a − π 。 （2）设I(α) = ∫ − + π α α 0 2 ln(1 2 cos x )dx，则I(0) = 0。设α ≠ 0，由于 I′(α) = ∫ − + π − α α α 0 2 1 2 cos 2 2cos dx x x ， 作变换 2 tan x t = ，得到 I′(α) = ∫ +∞ − + + + − + + 0 2 2 2 2 2 [(1 ) (1 ) ](1 ) 1 ( 1) 4 dt t t t α α α α ∫ ∫ +∞ +∞ − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = 0 2 0 2 2 2 (1 ) (1 ) 1 2 1 2 t dt t dt α α α α α ∫ ∫ +∞ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − + = 0 2 0 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 t d t t dt α α α α α α = 0， 所以I(α) = C ，再由I(0) = 0，得到 I(α) = 0 （ α <1）。 （3）设I(a) = ∫ + 2 0 2 2 2 2 ln( sin cos ) π a x b x dx ，且不妨设a > 0，b > 0。 当a = b 时，I(a) = π ln a 。以下设 a ≠ b。 由于 5