5.设(y)=(x+y)(x),其中为可微函数,求Py) 解(y)=2y(y)+6 1(y)=3f(0)+2yf(y) 6.设FO)2=J(x)y-xd(a<b),其中(x)为可微函数,求F()o 解当y≤a时,F(y)=J(x-y),于是 F(y)=-f(x),F(y)=0; 当y≥b时,F(y)=J(x)y-x)dx,于是 F(v F"(y)=0 当a<y<b时,F(y)=」(xy-x)+J,f(xx-y),于是 F'()=f(x)dx-Lf(x)dx, F"()=2f(y) 7.设函数f(x)具有二阶导数,F(x)是可导的,证明函数 u(x, 0=V(x-ar)+f(x+ar)]+ f(y) 满足弦振动方程 a2ua2u at 以及初始条件(x,0)=f(x),2(x0)=F(x) 证直接计算,可得 = o]+aF(x+ar)+aF(x-ar) at 2 02u=2[fx-a)+f"(x+a)]+F(x+a)-F(x-aml, (x-ar)+f'(x+ar]+[F(x+ar)-F(x-arI ax 2 ==U"(x-an)+f"(x+a) )-F'(x-arI 所以 a22a2 且显然成立(x0)=f(x),(x,0)=F(x) at 8.利用积分号下求导法计算下列积分∫ + − + − + t t t t t t t y dy 2 2 2 sin( ) 4 2 2 。 5. 设 = ∫ + ，其中 为可微函数，求 y I y x y f x dx 0 ( ) ( ) ( ) f I′′( y)。 解 ′ = + ∫ ， y I y yf y f x dx 0 ( ) 2 ( ) ( ) I′′( y) = 3 f ( y) + 2yf ′( y)。 6. 设F( y) f (x) | y x | dx (a b) ，其中 为可微函数，求 。 b a = − < ∫ f (x) F′′( y) 解 当 y ≤ a 时， = ∫ − ，于是 b a F( y) f (x)(x y)dx ∫ ′ = − b a F ( y) f (x)dx，F′′( y) = 0； 当 y ≥ b时， = ∫ − ，于是 b a F( y) f (x)( y x)dx ∫ ′ = b a F ( y) f (x)dx，F′′( y) = 0； 当a y < < b时， ，于是 ∫ ∫ = − + − b y y a F( y) f (x)( y x)dx f (x)(x y)dx F′( y) = ∫ ∫ − b y y a f (x)dx f (x)dx ，F′′( y) = 2 f ( y)。 7. 设函数 f (x)具有二阶导数，F(x)是可导的，证明函数 [ ] ∫ + − = − + + + x at x at F y dy a u x t f x at f x at ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( , ) 满足弦振动方程 2 2 2 2 2 x u a t u ∂ ∂ = ∂ ∂ ， 以及初始条件 ( ,0) ( ), (x,0) F(x) t u u x f x = ∂ ∂ = 。 证 直接计算，可得 [ ] [ ] ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 aF x at aF x at a af x at af x at t u = − ′ − + ′ + + + + − ∂ ∂ ， [ ] [ ] ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 F x at F x at a f x at f x at a t u = ′′ − + ′′ + + ′ + − ′ − ∂ ∂ ， [ ] [ ] ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 F x at F x at a f x at f x at x u = ′ − + ′ + + + − − ∂ ∂ ， [ ] [ ] ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 2 2 F x at F x at a f x at f x at x u = ′′ − + ′′ + + ′ + − ′ − ∂ ∂ ， 所以 2 2 2 2 2 x u a t u ∂ ∂ = ∂ ∂ ， 且显然成立 ( ,0) ( ), (x,0) F(x) t u u x f x = ∂ ∂ = 。 8．利用积分号下求导法计算下列积分： 4