收敛于∫ 证明必要性由推论10即得由于简单函数是可测函数,可测函数列的极限是可测函 数,故充分性成立■ 定理9表明,一个非负可测函数可以用一列单调增加的非负简单函数来逼近.而一般 可测函数可以表示成其正部和负部这两个非负可测函数之差.由于非负简单函数往往较容 易处理因此定理9在研究可测函数的性质时是常常用到的.推论11给出了可测函数的一个 构造性特征.这个构造性特征也可以作为可测函数的定义.这两种定义是等价的 小结本节在抽象可测空间上定义了可测函数,讨论了可测函数的基本性质.可测函 数是一类很广泛的函数,并且有很好的运算封闭性本节还介绍了一类特殊的可测函数,即 简单函数.可测函数可以用简单函数逼近,这是可测函数的构造性特征,在研究可测函数 特别是在积分理论中有重要应用 习题习题三,第1题一第17题75 收敛于 f . 证明 必要性由推论 10 即得. 由于简单函数是可测函数, 可测函数列的极限是可测函 数, 故充分性成立.■ 定理 9 表明, 一个非负可测函数可以用一列单调增加的非负简单函数来逼近. 而一般 可测函数可以表示成其正部和负部这两个非负可测函数之差. 由于非负简单函数往往较容 易处理.因此定理 9 在研究可测函数的性质时是常常用到的. 推论 11 给出了可测函数的一个 构造性特征. 这个构造性特征也可以作为可测函数的定义. 这两种定义是等价的. 小 结 本节在抽象可测空间上定义了可测函数, 讨论了可测函数的基本性质. 可测函 数是一类很广泛的函数, 并且有很好的运算封闭性. 本节还介绍了一类特殊的可测函数, 即 简单函数. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征, 在研究可测函数, 特别是在积分理论中有重要应用. 习 题 习题三, 第 1 题—第 17 题