运城学院应用数学系2014-2015学年第一学期期末考试抽象代数B 一、填空题（每空3分，共30分) 1、已知群G中的元素a的阶等于36，则a16的阶等于9 2、在3次对称群S3中，H={(1),(123),(132)}是S3的一个不变子群，则商群 G/H中的元素(13)H=12),13),23)}。 3、如果G是一个阶为12的群，H是G的3阶子群，那么H在G中的指数为4_。 4、设0是群G到群G的同态映射，a∈G,p(a)=a,那么p(a)=_a3一。 5、设G=(a)是10阶循环群，则G的生成元素有4个。 6、设0=(647512)是一个轮换，则6的逆为(215746)。 7、规定实数集R上的运算×为a×b=3ab+a+b(等号右边的运算是普通乘法和普通 加法)，则对于结合率和交换率而言，这个运算满足结合律、交换率。 8、整数集G关于乘法：ab=a+b+9是群，那么G中的单位元是-9。 9、在Z8中，ī+2(3+4)=_7_。 10、若一个置换群中含有k个偶置换，则其共含有元素k或2水个。 二、简答题（每小题10分，共40分） 1234567 11、设0= 求ox。 (716532 解：。1= 1234561 1234567 ...10分 473261 5416372 12、设S为群G的非空子集，称N(S)={aa∈G,aS=Sa}为S在G中的正规化子， 证明N(S)是G的子群。 证明：对任意的a、b∈NS),有aS=Sa,bS=Sb。2分 则有，(ab)S=a(bs)=a(Sb)=(aS)b=(Sa)b=S(ab),所以ab∈N(S)。.4分 又由aS=Sa易得Sa'=alS,所以a∈N(S)。从而，N(S)是G的子群。..4分 13、证明数集Z[√-2]={a+b√-2|a,b∈Z)关于数的加法与乘法构成一个有单 位元的交换环。 证明：1)任给a=a+bV-2,B=c+d-2∈Z[-2],ab,c,d∈Z,则 a+B=(a+c)+(b+d)V-2∈ZI-2],a邱=(ac-2bd)+(ad+bc)√-2∈Z[√-2] 所以，数的加法与乘法是Z√-2]的代数运算。2分 2)因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z、√一2]的加法与乘法也满足这些运算律。.2分运城学院应用数学系 2014-2015 学年第一学期期末考试抽象代数 B 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、已知群 G 中的元素 a 的阶等于 36，则 a 16的阶等于 9 。 2、在 3 次对称群 S3 中，H＝{(1)，(123)，(132)}是 S3 的一个不变子群，则商群 G/H 中的元素(13)H＝ {(12)，(13)，(23)} 。 3、如果 G 是一个阶为 12 的群，H 是 G 的 3 阶子群，那么 H 在 G 中的指数为 4 。 4、设 φ 是群 G 到群 G 的同态映射，a∈G，( ) a a  ，那么 3 ( ) a = 3 a 。 5、设 G=   a 是 10 阶循环群，则 G 的生成元素有 4 个。 6、设 σ=(6 4 7 5 1 2)是一个轮换，则 σ 的逆为 (2 1 5 7 4 6) 。 7、规定实数集 R 上的运算×为 a×b=3ab+a+b(等号右边的运算是普通乘法和普通 加法)，则对于结合率和交换率而言，这个运算满足 结合律、交换率 。 8、整数集 G 关于乘法：a·b=a+b+9 是群，那么 G 中的单位元是 -9 。 9、在 Z8 中， 1 2(3 4)    7 。 10、若一个置换群中含有 k 个偶置换，则其共含有元素 k 或 2k 个。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、设          6 4 3 1 7 5 2 1 2 3 4 5 6 7  ，          7 1 6 5 3 2 4 1 2 3 4 5 6 7  ，求   1 。 解：           4 7 3 2 6 1 5 1 1 2 3 4 5 6 7  ，           5 4 1 6 3 7 2 1 1 2 3 4 5 6 7   。……10 分 12、设 S 为群 G 的非空子集，称 N S a ( ) {a G,aS Sa}    为 S 在 G 中的正规化子， 证明 N(S)是 G 的子群。 证明：对任意的 a、b∈N(S)，有 aS=Sa，bS=Sb。……2 分 则有，(ab)S=a(bS)=a(Sb)=(aS)b=(Sa)b=S(ab)，所以 ab∈N(S)。……4 分 又由 aS=Sa 易得 Sa-1 =a-1 S，所以 a -1∈N(S)。从而，N(S)是 G 的子群。……4 分 13、证明数集 Z[ 2 ] = {a + b 2 | a, b∈Z}关于数的加法与乘法构成一个有单 位元的交换环。 证明：1) 任给 α = a + b 2 , β = c + d 2 ∈Z[ 2 ]，a, b, c, d ∈Z，则 α + β = (a + c) + (b + d) 2 ∈Z[ 2 ]，αβ = (ac - 2bd) + (ad + bc) 2 ∈Z[ 2 ] 所以，数的加法与乘法是 Z[ 2 ]的代数运算。......2 分 2) 因为数的加法与乘法满足交换律，结合律，且乘法对加法有分配律，所以 Z[ 2 ]的加法与乘法也满足这些运算律。......2 分