12.设∫为[2r]上的单调递减函数证明:对任何正整数n恒有「f(x)5m≥0 证明:当x0)有不等广m(0 14.证明:若f在[ab]上可积,g在[x,月上单调且连续可微,以(a)=a()=b,则 有八(=()(0M 5.证明:若在[上∫为连续函数,g为连续可微的单调函数,则存在5∈[b],使得 广(=8)(+8)/( §6可积性理论补叙 1.证明性质2中关于下和的不等式(3) 2.证明性质6中关于下和的极限ms(T)=s 3设∫(x)= 为有理数 0,x为无理数 试求∫在]上的上积分和下积分;并由此判断∫在p]上 是否可积 4.设∫在[ab上可积,且f(x)0,x∈b]试问√厂在b]上是否可积?为什么? 5.证明:定理9.15中的可积第二充要条件等价于“任给E>0,存在δ>0,对一切满足 卩<d的T,都有∑mA,=S()-s(门)<E 6.据理回答 (1)何种函数具有“任意下和等于任意上和“的性质? (2)何种连续函数具有“所有下和(或上和)都相等“的性质? (3)对可积函数,若“所有下和(或上和)都相等“,是否仍有(2)的结论 7.本题的最终目的是要证明:若f在[ab]上可积,则∫在[ab]内必定有无限多个处处稠 密的连续点这可用区间套方法按以下顺序逐一证明 (1)若T是[ab]的一个分割,使得S()-()<b-a,则在T中存在某个小区间△, 使得o!<1 (2)存在区间1={a1,b]<(ab),使得o(1)=spf(x)-nff(x)<1 3)存在区间1=[a,b]=(a,b),使得o/()=s甲/()-mf(x)< (4)继续以上方法,求出一区间序列Ln=[gnb]c(an1,bn),使得12．设 f 为 0,2  上的单调递减函数.证明：对任何正整数 n 恒有 ( )sin 0 2 0    f x nxdx . 13．证明：当 x  0 时有不等式 ( 0) 1 sin 2    + c x t dt x c x . 14．证明：若 f 在 a,b 上可积，  在 , 上单调且连续可微， () = a,() = b ，则 有 ( ) ( ( )) ( )   =   f x dx f  t  t dt b a / . 15．证明：若在 a,b 上 f 为连续函数， g 为连续可微的单调函数，则存在  a,b ，使得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    = + b a b a f x dx g a f x dx g b f x dx   . §6 可积性理论补叙 1．证明性质 2 中关于下和的不等式（3）. 2．证明性质 6 中关于下和的极限 s(T ) s T = →0 lim . 3．设 ( )    = 0 . , , ， 为无理数 为有理数 x x x f x 试求 f 在 0,1 上的上积分和下积分；并由此判断 f 在 0,1 上 是否可积. 4．设 f 在 a,b 上可积，且 f (x)  0, xa,b.试问 f 在 a,b 上是否可积？为什么？ 5．证明：定理 9.15 中的可积第二充要条件等价于“任给   0 ，存在   0 ，对一切满足 T   的 T ，都有   = S(T )− s(T )   T i i . 6．据理回答： （1）何种函数具有“任意下和等于任意上和“的性质？ （2）何种连续函数具有“所有下和（或上和）都相等“的性质？ （3）对可积函数，若“所有下和（或上和）都相等“，是否仍有（2）的结论？ 7．本题的最终目的是要证明：若 f 在 a,b 上可积，则 f 在 a,b 内必定有无限多个处处稠 密的连续点.这可用区间套方法按以下顺序逐一证明： （1）若 T 是 a,b 的一个分割，使得 S(T)− s(T)  b − a ，则在 T 中存在某个小区间 i ， 使得  1 f i . （2）存在区间 I a ,b  (a,b) 1 = 1 1  ，使得 ( ) sup ( ) inf ( ) 1 1 1 1 = −    I f x f x x I x I f  . （3）存在区间   ( ) 2 2 2 1 1 I = a ,b  a ,b ，使得 ( ) ( ) ( ) 2 1 sup inf 2 2 2 = −    I f x f x x I x I f  . （ 4 ）继续以上方法，求出一区间序列   ( ) 1 1 , , n = an bn  an− bn− I ，使得