秦方等：基于均匀化理论的复合材料安定性分析方法 .1559· dimensions and employed for more complex structures. KEY WORDS composite material;limit and shakedown analysis;homogenization theory;representative volume element;conic quadratic optimization 非均质复合材料广泛应用于现代工业的方方 换，针对周期性非均质材料的安定性能，通过对 面面，其构成的结构往往长期承受交变载荷的作 RVE边界条件的合理设定，可以直接求出以坐标 用，直至发生塑性破坏.准确计算它们的强度性能 系各向应力为基的宏观安定许用应力域.通过此 在结构设计和安全评估中有重要的作用.基于极 应力域包络线，可以根据交变外载下的应力响应 限安定理论的塑性计算直接法具有不考虑加载路 范围直接判定结构是否满足安定条件，同时，此边 径的优点，通过求解极限及安定域，直接得到结构 界条件的变化也不会影响弹性、塑性极限的结果 破坏的临界值以及可耐久承受的载荷范围.而对 及应用 其分析时，不得不考虑给复合材料带来优异力学 1均匀化理论 特性的材料微观多相物质及其组成的微结构，因 此对于复合材料的研究往往涉及微观及宏观尺度山. 均匀化理论广泛应用于复合材料等效力学性 微观的材料特性及微结构影响着宏观尺度下的复 质的预测.简单讲就是从整体结构中截取一个代 合材料性能表现，两种尺度相关力学性能参数的 表体元，对其施加指定的单位位移边界条件或者 转换可以由均匀化理论方法来解释和处理.Suquet 力边界条件，令其应变能和一个均匀材料的应变 系统的阐释了均匀化思想和计算方法.综合均匀 能等效，从而求出等效性质 化方法和塑性极限安定分析的研究亦有进展.以 若考察宏观非均质连续体V,具有微结构2. 论文[3-4]开始，Weichert等应用下限定理，计算二 通过均匀化理论，将考虑力学问题的两种尺度，宏 维复合材料的安定域.Ponter与Leckie!s则使用上 观和微观以及建立其连接的两种转换方法.通过 限定理，在论文中计算同时考虑温度载荷下的复 缩小尺度或称局部化可以把宏观材料的微结构提 合材料塑性性能 取出来进行分析；而全局化则相反，是将微观代表 经过十几年的发展，Hachemi等I研究了非均 性单元的性质作为宏观层面的平均等效值赋予回 质复合材料的极限状态，综合介绍了使用极限安 宏观层次.宏观参数应变E、应力Σ和微观量具有 定理论对非均质材料进行宏观性能预测的理论发 如下关系： 展、数值计算流程，包含多个结合均匀化方法的算 E=(8〉= bsdv (1) 例.Chen等在此基础之上，即研究了金属基颗粒 1 增强材料(particle-reinforced metal matrix composite,. =()=gloordv (2) PRMMC)性能预测时如何减少代表性单元(RVE) 式中，ε和σ为微观局部的应变和应力.)运算表 尺寸效应的影响可，也从统计学角度对大量极限安 示在RVE区域内的体积平均.当非均质体承受外 定计算结果进行处理以预测材料宏观性能.Zhang 载产生均匀应力应变时，远离边界条件的代表性 等研究了多孔材料在宏观的屈服准则表现.国 体元将跟随几何周期性而产生周期性的应力应 内方面，李华祥等、张宏涛等叫在该领域也有 变.换言之，微观物理场可以分解为平均值和扰动 所研究建树 量两部分： 以上研究计算结果的目的往往是推导材料的 u(x)=E·x+i(x) (3) 宏观屈服强度数值或者等效屈服面，较少直接针 对工程结构的设计和安全校核.本文课题组针对 s(x)=E+(x) (4) 呈现各向异性屈服特性的复合材料也进行了研 σ(x)=∑+G(x) (5) 究，扩展了极限安定计算方法的屈服准则形式， 式中，、(x)和c(x分别是局部速度场、应变和应 适合直接计算材料所构成结构的承载特性.该分 力场的扰动量.这些扰动量具有周期性.根据式 析思路需要材料各方向等效强度参数，往往并不 (1)和(2)可知在RVE区域内： 易获得而具有应用障碍.而本文沿用其优化计算 (〉=0 (6) 方法，更多的关注材料微观和宏观性能的尺度转 (G)=0 (7)dimensions and employed for more complex structures. KEY  WORDS    composite  material； limit  and  shakedown  analysis； homogenization  theory； representative  volume  element； conic quadratic optimization 非均质复合材料广泛应用于现代工业的方方 面面，其构成的结构往往长期承受交变载荷的作 用，直至发生塑性破坏. 准确计算它们的强度性能 在结构设计和安全评估中有重要的作用. 基于极 限安定理论的塑性计算直接法具有不考虑加载路 径的优点，通过求解极限及安定域，直接得到结构 破坏的临界值以及可耐久承受的载荷范围. 而对 其分析时，不得不考虑给复合材料带来优异力学 特性的材料微观多相物质及其组成的微结构，因 此对于复合材料的研究往往涉及微观及宏观尺度[1] . 微观的材料特性及微结构影响着宏观尺度下的复 合材料性能表现，两种尺度相关力学性能参数的 转换可以由均匀化理论方法来解释和处理. Suquet[2] 系统的阐释了均匀化思想和计算方法. 综合均匀 化方法和塑性极限安定分析的研究亦有进展. 以 论文 [3−4] 开始，Weichert 等应用下限定理，计算二 维复合材料的安定域. Ponter 与 Leckie[5] 则使用上 限定理，在论文中计算同时考虑温度载荷下的复 合材料塑性性能. 经过十几年的发展，Hachemi 等[6] 研究了非均 质复合材料的极限状态，综合介绍了使用极限安 定理论对非均质材料进行宏观性能预测的理论发 展、数值计算流程，包含多个结合均匀化方法的算 例. Chen 等在此基础之上，即研究了金属基颗粒 增强材料（particle-reinforced metal matrix composite, PRMMC）性能预测时如何减少代表性单元（RVE） 尺寸效应的影响[7] ，也从统计学角度对大量极限安 定计算结果进行处理以预测材料宏观性能[8] . Zhang 等[9] 研究了多孔材料在宏观的屈服准则表现. 国 内方面，李华祥等[10]、张宏涛等[11] 在该领域也有 所研究建树. 以上研究计算结果的目的往往是推导材料的 宏观屈服强度数值或者等效屈服面，较少直接针 对工程结构的设计和安全校核. 本文课题组针对 呈现各向异性屈服特性的复合材料也进行了研 究[12] ，扩展了极限安定计算方法的屈服准则形式， 适合直接计算材料所构成结构的承载特性. 该分 析思路需要材料各方向等效强度参数，往往并不 易获得而具有应用障碍. 而本文沿用其优化计算 方法，更多的关注材料微观和宏观性能的尺度转 换，针对周期性非均质材料的安定性能，通过对 RVE 边界条件的合理设定，可以直接求出以坐标 系各向应力为基的宏观安定许用应力域. 通过此 应力域包络线，可以根据交变外载下的应力响应 范围直接判定结构是否满足安定条件，同时，此边 界条件的变化也不会影响弹性、塑性极限的结果 及应用. 1    均匀化理论 均匀化理论广泛应用于复合材料等效力学性 质的预测. 简单讲就是从整体结构中截取一个代 表体元，对其施加指定的单位位移边界条件或者 力边界条件，令其应变能和一个均匀材料的应变 能等效，从而求出等效性质. 若考察宏观非均质连续体 V，具有微结构 Ω. 通过均匀化理论，将考虑力学问题的两种尺度，宏 观和微观以及建立其连接的两种转换方法. 通过 缩小尺度或称局部化可以把宏观材料的微结构提 取出来进行分析；而全局化则相反，是将微观代表 性单元的性质作为宏观层面的平均等效值赋予回 宏观层次. 宏观参数应变 E、应力 Σ 和微观量具有 如下关系： E = ⟨ε⟩ = 1 Ω ∫Ω εdV （1） Σ = ⟨σ⟩ = 1 Ω ∫Ω σdV （2） 式中，ε 和 σ 为微观局部的应变和应力. ⟨·⟩ 运算表 示在 RVE 区域内的体积平均. 当非均质体承受外 载产生均匀应力应变时，远离边界条件的代表性 体元将跟随几何周期性而产生周期性的应力应 变. 换言之，微观物理场可以分解为平均值和扰动 量两部分： u(x) = E · x+u˜ (x) （3） ε(x) = E +ε˜(x) （4） σ(x) = Σ +σ˜ (x) （5） 式中，u˜、ε˜(x) 和σ˜ (x) 分别是局部速度场、应变和应 力场的扰动量. 这些扰动量具有周期性. 根据式 （1）和（2）可知在 RVE 区域内： ⟨ε˜⟩ = 0 （6） ⟨σ˜⟩ = 0 （7） 秦    方等： 基于均匀化理论的复合材料安定性分析方法 · 1559 ·