工程科学学报.第41卷.第12期：1558-1566.2019年12月 Chinese Journal of Engineering,Vol.41,No.12:1558-1566,December 2019 D0L:10.13374/.issn2095-9389.2019.01.06.001,http://journals.ustb.edu.cn 基于均匀化理论的复合材料安定性分析方法 秦 方)，张乐乐)区，黄松华)，陈耕 1)北京交通大学机械与电子控制工程学院，北京1000442)德国亚探工业大学机械工程材料应用研究所，亚琛52062 ☒通信作者，E-mail:llzhangl@bjtu.edu.cn 摘要周期性非均质复合材料具有微观结构特征，需要均匀化理论进行宏观和微观的多尺度分析来研究其性能表现.针对 其耐久强度性能，应用塑性极限安定下限定理，特别分析了其在长期交变载荷下的安定状态.结合工程应用目标，提出一种 全新的代表性单元边界条件，结合圆锥二次优化算法进行数值计算，可以从材料微结构和组分性能出发，经过弹性应力场求 解确定位移边界载荷数值，最终由优化求解得到复合材料板材的面内塑性性能容许域.所求得的应力域以单向应力为基，可 根据结构宏观的单向应力状态变化幅值直接进行安定状态与否的判定.通过文中的多个算例，验证了所编写的软件及计算 流程的可行性及数值准确性，展示了该方法在工程模型中的应用场合和工程实践意义 关键词复合材料：极限安定分析：均匀化理论；代表性单元：圆锥二次优化 分类号0344.5 Shakedown analysis method for composites based on homogenization theory QIN Fang,ZHANG Le-le HUANG Song-hua,CHEN Geng 1)School of Mechanical,Electronic and Control Engineering,Beijing Jiaotong University,Beijing 100044,China 2)Institute for Materials Applications in Mechanical Engineering,RWTH Aachen University,Aachen 52062,German Corresponding author,E-mail:llzhangl@bjtu.edu.cn ABSTRACT Direct methods of plastic analysis are widely used in composites analysis to determine material strength for safety assessment or lightweight optimization design.Multi-scale processing of periodic heterogeneous composite material is needed due to its existing of microstructure.The standard method is to determine the macroscopic properties from the calculation results of microcosmic representative volume elements(RVEs)by using the homogenization theory.However,in current practice,there are some disadvantages of transforming the micro strain domain to the macro stress shakedown domain when considering multiple external loads.The domain cannot fully demonstrate the shakedown condition,and it is impossible to evaluate a known loading combination only from the knowledge of whether the load leads to the shakedown state.To overcome this disadvantage,a new comprehensive approach was proposed to enhance endurance limit strength of composites under variable loads for long term.Considering the example of in-plane strength analysis,for microcosmic RVEs,a new set of boundary condition was defined in the form of uniform strain.The boundary condition was derived from the elastic response under unit loads by using Hook's law and stiffness matrix.The resulting elastic stress field was used later for plastic shakedown analysis.Based on the lower bound theorem of plastic mechanics,optimization programming for load factor was performed,and after proper mathematical reformulation,the conic quadratic optimization problem could be solved efficiently.Macro-stress shakedown domain can be obtained after scale-transformation of the RVE results.The bases of this stress domain are unidirectional stress in geometry space.The stress amplitude of a structure can be evaluated by this domain for determining the shakedown state in a simple and practical manner.Further,changes in the boundary condition of RVE do not affect the limit and elastic analysis.Finally,few numerical examples were presented for verification and illustration.This approach can be expanded to three 收稿日期：2019-01-06 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51475036)基于均匀化理论的复合材料安定性分析方法 秦    方1)，张乐乐1) 苣，黄松华1)，陈    耕2) 1) 北京交通大学机械与电子控制工程学院，北京 100044    2) 德国亚琛工业大学机械工程材料应用研究所，亚琛 52062 苣通信作者，E-mail：llzhang1@bjtu.edu.cn 摘    要    周期性非均质复合材料具有微观结构特征，需要均匀化理论进行宏观和微观的多尺度分析来研究其性能表现. 针对 其耐久强度性能，应用塑性极限安定下限定理，特别分析了其在长期交变载荷下的安定状态. 结合工程应用目标，提出一种 全新的代表性单元边界条件，结合圆锥二次优化算法进行数值计算，可以从材料微结构和组分性能出发，经过弹性应力场求 解确定位移边界载荷数值，最终由优化求解得到复合材料板材的面内塑性性能容许域. 所求得的应力域以单向应力为基，可 根据结构宏观的单向应力状态变化幅值直接进行安定状态与否的判定. 通过文中的多个算例，验证了所编写的软件及计算 流程的可行性及数值准确性，展示了该方法在工程模型中的应用场合和工程实践意义. 关键词    复合材料；极限安定分析；均匀化理论；代表性单元；圆锥二次优化 分类号    O344.5 Shakedown analysis method for composites based on homogenization theory QIN Fang1) ，ZHANG Le-le1) 苣 ，HUANG Song-hua1) ，CHEN Geng2) 1) School of Mechanical, Electronic and Control Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China 2) Institute for Materials Applications in Mechanical Engineering, RWTH Aachen University, Aachen 52062, German 苣 Corresponding author, E-mail: llzhang1@bjtu.edu.cn ABSTRACT    Direct  methods  of  plastic  analysis  are  widely  used  in  composites  analysis  to  determine  material  strength  for  safety assessment or lightweight optimization design. Multi-scale processing of periodic heterogeneous composite material is needed due to its existing of microstructure. The standard method is to determine the macroscopic properties from the calculation results of microcosmic representative volume elements (RVEs) by using the homogenization theory. However, in current practice, there are some disadvantages of transforming the micro strain domain to the macro stress shakedown domain when considering multiple external loads. The domain cannot  fully  demonstrate  the  shakedown  condition,  and  it  is  impossible  to  evaluate  a  known  loading  combination  only  from  the knowledge  of  whether  the  load  leads  to  the  shakedown  state.  To  overcome  this  disadvantage,  a  new  comprehensive  approach  was proposed to enhance endurance limit strength of composites under variable loads for long term. Considering the example of in-plane strength analysis, for microcosmic RVEs, a new set of boundary condition was defined in the form of uniform strain. The boundary condition was derived from the elastic response under unit loads by using Hook’s law and stiffness matrix. The resulting elastic stress field was used later for plastic shakedown analysis. Based on the lower bound theorem of plastic mechanics, optimization programming for load factor was performed, and after proper mathematical reformulation, the conic quadratic optimization problem could be solved efficiently.  Macro-stress  shakedown  domain  can  be  obtained  after  scale-transformation  of  the  RVE  results.  The  bases  of  this  stress domain are unidirectional stress in geometry space. The stress amplitude of a structure can be evaluated by this domain for determining the shakedown state in a simple and practical manner. Further, changes in the boundary condition of RVE do not affect the limit and elastic analysis. Finally, few numerical examples were presented for verification and illustration. This approach can be expanded to three 收稿日期: 2019−01−06 基金项目: 国家自然科学基金资助项目（51475036） 工程科学学报，第 41 卷，第 12 期：1558−1566，2019 年 12 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 41, No. 12: 1558−1566, December 2019 DOI：10.13374/j.issn2095-9389.2019.01.06.001; http://journals.ustb.edu.cn