第四章向量组的线性相关性 1.设v=(1,1,0)2,V2=(0,1,1),v 4,0)y, 求v1-v2及3v1+ 解v1-v2=(1,1,0)-(0,1,1 =(1-0,1-1,0-1)=(1,0,-1) 3v1+2v2-v3=3(1,1,0)+2(0,1, (3,4,0)7 (3×1+2×0-3,3×1+2×1-4,3×0+2×1-0 (0,1,2) 设3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)其中a1=(2,51,3) a2=(10,1,10),a3=(4,1,-1,1),求 解由3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)整理得 a=2(3a1+2a2-5a3)=3(23)+2(10,5,10)-5(4,,-1,1) (1,2,3,4) 3.举例说明下列各命题是错误的 (1)若向量组a1,a2…,an是线性相关的则a1可由a2,…an,线性表示 (2)若有不全为0的数λ,气2,…,n使 A1a1+…+nan+A1b1+…+nbn=0 成立,则a1…,an线性相关,b1,…bn亦线性相关 (3)若只有当1,2,…,无n全为0时等式 1a1+…+mm+b1+…+λnbm=0 才能成立则a1,…,an线性无关b1,…,bn亦线性无关 (4)若a1,…,an线性相关,b,…,bn亦线性相关则有不全为0的数, λ,,2,…,使a1+…+几nam=0,气b1+…+几bn 同时成立 解(1)设a1=e1=(1,0,0,…,0) a =( 满足a1,a2,…,an线性相关但a1不能由a2,…,an,线性表示 (2)有不全为零的数λ,2,…,n使 气a1+…+nam+A1b1+…+nbn=0 原式可化为1 第四章 向量组的线性相关性 1．设 T T T v (1, 1, 0) , v (0, 1, 1) , v (3, 4, 0) 1 = 2 = 3 = , 求 1 2 v − v 及 3 1 2 2 3 v + v − v . 解 1 2 v − v T T = (1, 1, 0) − (0, 1, 1) T = (1 − 0, 1 − 1, 0 − 1) T = (1, 0, − 1) 3 1 2 2 3 v + v − v T T T = 3(1, 1, 0) + 2(0, 1, 1) − (3, 4, 0) T = (31 + 2 0 − 3, 31 + 21 − 4, 3 0 + 21 − 0) T = (0, 1, 2) 2．设 3( ) 2( ) 5( ) a1 − a + a2 + a = a3 + a 其中 T a (2,5,1,3) 1 = , T a (10,1,5,10) 2 = , T a (4,1, 1,1) 3 = − ,求 a 解 由 3( ) 2( ) 5( ) a1 − a + a2 + a = a3 + a 整理得 (3 2 5 ) 6 1 a = a1 + a2 − a3 [3(2,5,1,3) 2(10,1,5,10) 5(4,1, 1,1) ] 6 1 T T T = + − − T = (1,2,3,4) 3．举例说明下列各命题是错误的: (1)若向量组 a a am , , , 1 2  是线性相关的,则 1 a 可由 , , a2 am 线性表示. (2)若有不全为 0 的数    m , , , 1 2  使 1a1 ++ mam + 1b1 ++ mbm = 0 成立,则 a am , , 1  线性相关, b bm , , 1  亦线性相关. (3)若只有当    m , , , 1 2  全为 0 时,等式 1a1 ++ mam + 1b1 ++ mbm = 0 才能成立,则 a am , , 1  线性无关, b bm , , 1  亦线性无关. (4)若 a am , , 1  线性相关, b bm , , 1  亦线性相关,则有不全为 0 的数,    m , , , 1 2  使 1a1 ++ mam = 0,1b1 ++ mbm = 0 同时成立. 解 (1) 设 (1,0,0, ,0) a1 = e1 =  a2 = a3 == am = 0 满足 a a am , , , 1 2  线性相关,但 1 a 不能由 , , , a2  am 线性表示. (2) 有不全为零的数    m , , , 1 2  使 1a1 ++ mam + 1b1 ++ mbm = 0 原式可化为