O (R>R) 4πER .∴.0= D.R Q p.R 4uoR a,R4,R0<R<R) a02。 Q Q -6Rk=0,→0=64πER4πR dol -2Pcos0 Pcose -3Pcos0 6RlRe-=0→0n=64 R R 4πR 6在均匀外电场E。中置入一带电自由电荷p,的绝缘介质球（电容率￡），求空间各点的电 势。 解：自由电荷P,的电场与外电场使介质球发生极化，从而在介质球内和表面出现极化电荷 分布p,=（1- p,因此电势等于球内的电荷产生的电势p。与均匀电场及表面极化电 荷的电势p之和，满足拉普拉斯方程。p可以由高斯定理计算。 球内以球心为原点，以外电场方向为z轴建立球坐标系，设球的半径为R,得定解条 件 Vo=-PL (R<R) (1) 7202= 0(R>R) (2) 01R0= 有限位 (3) P2R= -E Rcos0 (4) 1R=R= P2R-R (5) 00. 802 ORk=5oORRR (6) 由于已经假定介质球内的P,为常数，它的场及其引起的极化电荷产生的场都有球对称性， 由商斯定建托a+A加精后-风，-R) 从而电势 :=∫Ed=PE 3EpR (R>R) a-了n+al-P(-,eE 68 36 (R<R 99 2 0 3 3 1 0 0 2 0 1 ( ) 4 (0 ) 4 4 4 Q R R R p R Q p R R R R R R           =     + −     1 2 2 2 0 R R f f R     =  − =  =  0 2 2 0 2 2 Q Q 4 R 4 R    = 1 1 1 0 R R f f1 R     =  =  =  0 3 3 3 0 1 1 1 1 2Pcos Pcos 3Pcos 4 R R 4 R         − −   − =   6.在均匀外电场 E0  中置入一带电自由电荷  f 的绝缘介质球（电容率  ），求空间各点的电 势。 解：自由电荷  f 的电场与外电场使介质球发生极化，从而在介质球内和表面出现极化电荷 分布 0 1 p f       =     - - ，因此电势等于球内的电荷产生的电势 0 与均匀电场及表面极化电 荷的电势 1  之和，1  满足拉普拉斯方程。 0 可以由高斯定理计算。 球内以球心为原点，以外电场方向为 z 轴建立球坐标系，设球的半径为 R0 , 得定解条 件 0 0 0 0 2 1 1 2 2 2 1 0 2 0 1 2 1 2 0 = (1) 0 (2) 3 cos (4 (5) (6) f R R R R R R R R R R R R R R E R R R              → →  = = = =        =    =  =   =     =    - - （ ） （ ） 有限位 （ ） ） 由于已经假定介质球内的  f 为常数，它的场及其引起的极化电荷产生的场都有球对称性， 由高斯定理， ( ) 0 1 E ds= f p V   dV   +   ,易得 ( ) 01 0 3 f R E R R   =  , ( ) 0 3 02 0 3 3 f R R E R R R   =  从而电势 ( ) 0 0 3 0 02 02 0 0 2 2 2 0 0 01 01 02 0 0 3 6 3 f R R f f R R R R E dR R R R R R R E dR R R           = =  =  − =  + = +    （ ） （ ）