例112.2设f(xy)2=(x+y)sm2),证明 x +y limf(x,y)=0。 (x,y)→+(0,0) 证由于 f(x,y)-0F(x+y)sin x+y|≤|x|+|y|, x 所以,对于任意给定的>0,只要取δ=6,那么当|x-0k6y-=0k8 且(x,y)≠(0)时, f(x,y)-0≤|x|+|y|<δ+8 这说明了limf(x,y)=0。 (x,y)-(0,0)例 11.2.2 设 22 sin)(),( yx y yxyxf + += ，证明 0),(lim )0,0(),( = → yxf yx 。 证 由于 22 sin)(|0),(| yx y yxyxf + +=− ≤ + yx || ≤ + yx |||| ， 所以，对于任意给定的ε > 0，只要取 2ε δ = ，那么当 − < δ yx − |0|,|0| < δ ， 且 yx ≠ )0,0(),( 时， yxf − |0),(| ≤ ε ε ε δδ =+=+<+ 22 yx |||| 。 这说明了 0),(lim )0,0(),( = → yxf yx