银川科技职业学院《高等数学》教寒 第八章多元函数徽分学及其应用 6=法fc6l’w)-- 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数.例如三元函数x,y,)在点 (:,y,)处对x的偏导数定义为 L(x.y.-)=limI(x+Ax.y.)-(x.v) △r0 △x 其中x,y,)是函数=x,y,)的定义域的内点.它们的求法也仍旧是一元函数 的微分法问题 例1求=x2+3y+y2在点(1,2)处的偏导数： 解 -2x+3y, Ox =3x+2y. y x==21+32=8, ax y=2 x1=31+22=7. ay y=2 例2求=xsin2y的偏导数， 解华=2xsin2y,影-22c0s2y. Ox oy 例3设：=x>0,x≠)，求证：工产+L=2: y ax Inx oy 证器m等=hx +1-X+xx=x+x=25. yax Inxay y Inx 例4求r=√x2+y2+z2的偏导数. 解r =x.Or y x2+y2+22 r'oyx2+y2+2r 例5己知理想气体的状态方程为p=RT(R为常数)， 求证：2北r=-l av aT ap 证因为p=g,票=-兴 op RT v=Rr,亚-R p’aTp T=p业，a肛=- R’pR' 所以2.业=-RgRY=-T=-1 av aT op v2 p R pV 例5说明的问题：偏导数的记号是一个整体记号，不能看作分子分母之 商 二元函数=x,)在点(x0,)的偏导数的几何意义： fxo,o)=[x,ok是截线=x,o)在点M处切线T对x轴的斜率. xo,o)=[xo,yy'是截线=xo,)在点M6处切线T),对y轴的斜率. 偏导数与连续性：对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不 第10页银川科技职业学院《高等数学》教案 第八章 多元函数微分学及其应用 第 10 页 0 ( , ) [ ( , )] 0 0 0 x x x f x y dx d f x y    0 ( , ) [ ( , )] y 0 0 0 y y f x y dy d f x y    偏导数的概念还可推广到二元以上的函数 例如三元函数 uf(x y z)在点 (x y z)处对 x 的偏导数定义为 x f x x y z f x y z f x y z x x       ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0  其中(x y z)是函数 uf(x y z)的定义域的内点 它们的求法也仍旧是一元函数 的微分法问题 例 1 求 zx 2 3xyy 2 在点(1 2)处的偏导数 解 x y x z 2 3    x y y z 3 2    2 1 3 2 8 2 1          y x x z  3 1 2 2 7 2 1          y x y z  例 2 求 zx 2 sin 2y 的偏导数 解 x y x z 2 sin 2    x y y z 2 cos2 2     例 3 设 z  x (x0,x1) y  求证 z y z x x z y x 2 ln 1        证 1    y yx x z  x x y z y  ln    x x x x z x yx y x y z x x z y x y y y y ln 2 ln 1 ln 1 1             例 4 求 2 2 2 r x  y z 的偏导数 解 r x x y z x x r       2 2 2  r y x y z y y r       2 2 2  例 5 已知理想气体的状态方程为 pV=RT(R 为常数) 求证 1         p T T V V p  证 因为 V RT p  2 V RT V p     p RT V   p R T V     R pV T   R V p T     所以 1 2              pV RT R V p R V RT p T T V V p  例 5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之 商 二元函数 zf(x y)在点(x0 y0)的偏导数的几何意义 fx(x0 y0)[f(x y0)]x是截线 zf(x y0)在点 M0 处切线 Tx 对 x 轴的斜率 fy(x0 y0) [f(x0 y)]y是截线 zf(x0 y)在点 M0 处切线 Ty 对 y 轴的斜率 偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不