第二学期第二十三次课 §4单变量有理函数域 941域上的一元有理分式域的定义 设R为一整环,命S={(b,a)|a,b∈R,a≠0}。现在S中规定~为 (b,a)~(d,c)分be=ad 逐一验证“反身性”、“对称性”、“传递性”可知-为一等价关系。用(b,a)表示与(b,a) 等价的元素的全体。现记S关于~的等价类的集合为5,则(ba)是5中的元素。下面 在5/上定义二元运算 (a, b)+(c, d)=(ad+bc, bd) (a, b)(c, d=(ac, bd) 可以验证 (1)+,是良定义的,即与等价类代表元的选择无关 (2)(5+,)对加法构成交换群,(,+)-0)对乘法也构成交换群,且加法和乘 法满足分配律。 于是,(%,+,)构成域,称之为R的分式域或商城,将+)中的元素(ab记为 b,则(S+)中的元素的运算规则与通常的分式运算完全一致。 定义915(城上的元有理分式域)若R=kK[,则记(+,为K(x,并将其 称之为域上的一元有理分式域,其元素形如8(x)((x)≠0 f(x) 942有理分式的准素分解式 定义916(准素分式)在K(x)内的一个分式q(x)/p(x),如果其中p(x)是首一不可 约多项式,而degq(x)<degp(x),则称之为准素分式。 定理K(x)内任意分式可分解为一个多项式和若干准素分式之和 证明:设∈K(x),且不妨设(∫(x),g(x)=1,degg(x)<deg∫(x)。设∫(x)的第二学期第二十三次课 §4 单变量有理函数域 9.4.1 域上的一元有理分式域的定义 设 R 为一整环，命 S b a a b R a =   {( , ) | , , 0} 。现在 S 中规定 为 ( , ) ( , ) b a d c bc ad  = 逐一验证“反身性”、“对称性”、“传递性”可知 为一等价关系。用 ( , ) b a 表示与 ( , ) b a 等价的元素的全体。现记 S 关于 的等价类的集合为 S ，则 ( , ) b a 是 S 中的元素。下面 在 S 上定义二元运算： ( , ) ( , ) ( , ) a b c d ad bc bd + = + ( , ) ( , ) ( , ) a b c d ac bd = 可以验证： （1） +, 是良定义的，即与等价类代表元的选择无关； （2） ( , , ) S + 对加法构成交换群， ( , , ) {0} S + − 对乘法也构成交换群，且加法和乘 法满足分配律。 于是， ( , , ) S + 构成域，称之为 R 的分式域或商域，将 ( , , ) S + 中的元素 ( , ) a b 记为 a b ，则 ( , , ) S + 中的元素的运算规则与通常的分式运算完全一致。 定义 9.15 （域上的一元有理分式域） 若 R K x = [ ] ，则记 ( , , ) S + 为 K x( ) ，并将其 称之为域上的一元有理分式域，其元素形如 ( ) ( ( ) 0) ( ) g x f x f x  。 9.4.2 有理分式的准素分解式 定义 9.16 （准素分式）在 K x( ) 内的一个分式 ( ) ( )k q x p x ，如果其中 p x( ) 是首一不可 约多项式，而 deg ( ) deg ( ) q x p x  ，则称之为准素分式。 定理 K x( ) 内任意分式可分解为一个多项式和若干准素分式之和。 证明：设 ( ) ( ) ( ) g x K x f x  ，且不妨设 ( ( ), ( )) 1,deg ( ) deg ( ) f x g x g x f x =  。设 f x( ) 的