《数学分析》教案 第十章定积分的应用 海南大学数学系 解：设细杆位于x轴上的厂2质点位于y轴上的点a。任取 11 [区x+△2，当△r很小时可把这一小段细杆看作一质点，其质量为 于是它对质点m的引力为 学a 2 由于细杆上各点对质点m的引力方向各不相同，因此不能直接对F 进行积分。而dF在x轴和y轴上的分力为 dFx =dF.sin 0,dFy =-dF.cos0. 由于质点m位于细杆的中垂线上，所以水平合力为零，即 F=「dfx=o. F=了d,=-2 km恤a2+r2)2 2kmMa 1 2kmM 1a2Va2+x26 aN4a2+/2 负号表示合力方向与y轴方向相反。 三、功 例3、一圆锥形水池，池口直径30米，深10米，池中盛满了水。试求将 全池水抽出池外需作的功。 解：由于抽出相同深度处单位体积的水需作相同的功，因此将x到x+Ax 的一薄层水△2抽至池口需作的功△W。当△r很小时，△2的体积 ar≈50-0JPax 这时有《数学分析》教案 第十章 定积分的应用 海南大学数学系 2 解： 设细杆位于 x 轴上的 ], 2 , 2 [ l l − 质点位于 y 轴上的点 a 。任取 ] 2 , 2 [ , ] [ l l x x + x  − ，当 x 很小时可把这一小段细杆看作一质点，其质量为 dx. l M dM = 于是它对质点 m 的引力为 . 2 2 2 dx l M a x km r kmdM dF  + = = 由于细杆上各点对质点 m 的引力方向各不相同，因此不能直接对 dF 进行积分。而 dF 在 x 轴和 y 轴上的分力为 dF = dF sin ,dF = −dF  cos. x y 由于质点 m 位于细杆的中垂线上，所以水平合力为零，即 0. 2 2 = =  − l l x x F dF a x dx l kmMa F dF l l l y y 2 3 2 2 2 0 2 2 2 ( ) − − = = − +   = . 4 2 0 2 1 2 1 2 2 2 2 2 a a l kmM a x x l a kmMa + = − + −   负号表示合力方向与 y 轴方向相反。 三、功 例 3、 一圆锥形水池，池口直径 30 米，深 10 米，池中盛满了水。试求将 全池水抽出池外需作的功。 解： 由于抽出相同深度处单位体积的水需作相同的功，因此将 x 到 x + x 的一薄层水  抽至池口需作的功 W 。当 x 很小时，  的体积 )] , 10 [15(1 2 x x V   −  这时有