第四章导数的应用 其中R2n(x)=xsm(5+nx)x 类似的推导可以得到 (-1) R2n+1(x) 其中 R 2n+1 cos(c+ (2n+1) 2 3(1+x)“(a为任意实数)在点x=0带有格朗日余项的台劳公式 因为[(+x)2]=a(1+x)2-1,, [(+x)2]=a(a-1)(a-n+1)+x)2-n 所以 d(a-1) n (k) +R,(x) a(a-1) a(a-1).(a-n+1) x”+Rn(x) 其中(x)0-D.(a-n+1) (1+5)nx (n+1)! 特别是: =∑(-1)x2+o(x 1+x如 (-1)y (2k) x") 2+∑(-y (2k-1) (2k x+o(x"); 其中:0=1,(2k)=24…(2k),(2k-1)=13…(2k-1) 4l(1+x)在点x0=0带有拉格朗日余项的台劳公式 由于[(1+x)= 1+x (1+x) h(+x)=∑ ( +R,(x) k n+1 其中 Rn(x)=(-1) l)(1+5) 第四章导数的应用第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 其中 n n n x n R x 2 2 sin( ) (2 )! 1 ( ) =  +  类似的推导可以得到 ( ) ( ) ( ) 2 ! 1 cos 2 1 0 2 1 x R x k x n n k k k + = − + − =  = ( ) (2 )! ... ( 1) 2! 4! 1 2 1 2 4 2n R x n x x x n k − + − + − + + 其中 2 1 2 1 ) 2 2 1 cos( (2 1)! 1 ( ) + + + + + = n n x n n R x   3  (1+ x) (  为任意实数) 在点 x0= 0 带有格朗日余项的台劳公式 因为 1 [(1 ) ] (1 ) − +  = +   x  x ,……, n n x n x − + = − − + +   [(1 ) ] ( 1)( 1)(1 ) ( ) 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ! 1 ( 1) 1 0 x R x k n x n n k k + − − + + = =      = ( ) 2! ( 1)...( 1) ... 2! ( 1) 1 2 x R x n x x n n + − − + + + − + +       其中 1 1 (1 ) ( 1)! ( 1)...( 1) ( ) − − + + + − − + = n n n x n n R x      . 特别是：  = −1, ( 1) ( ) 1 1 0 n n k k k x o x x = − + + = ; 2 1  = , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 !! 2 3 !! 1 2 1 1 2 1 n n k k k x o x k x k x + − + = + + − = − ; 2 −1  = , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 !! 2 1 !! 1 2 1 1 1 2 n n k k k x o x k x k x + − = − + − + = ; 其中: 0!=1, (2k)!!= 2 4(2k), (2k −1)!!=13(2k −1) 4 ln(1+ x) 在点 x0= 0 带有拉格朗日余项的台劳公式 由于 x x + +  = 1 1 [ln(1 )] ,……, n n n x n x (1 ) ( 1) ( 1)! [ln(1 )] 1 ( ) + − − + = − , ( ) ( ) ( ) ! 1 ln 1 1 1 x R x k x n n k k k + − + = = − = ... ( 1) ( ) 2 1 2 R x n x x x n n n − + + − + − 其中 1 1 ( 1)(1 ) ( ) ( 1) + + + + = − n n n n n x R x 