·1660 工程科学学报，第37卷，第12期 其中，l=1,2,…,L,代表的是未知信号方向0，的个数. a(θ，）=[ea,eam,…,eaim]T∈Cwx1.(9) 在此假设如图1所示对线型天线阵列进行分析和 在压缩感知理论的架构下，如果L维信号向量s 探讨. 中只包含有K个非零输入值，即只有K行是非零的， 且满足LMK.至此可以认为r是测量值，A(0)是 感知矩阵，而s就是需要恢复出来的信号向量值.可 以得出，理论上所谓的DOA稀疏估计，就是通过相关 算法恢复出s的非零行所在的位置信息 3多普勒域和角域下的压缩频谱感知理论 通过以上分析可以发现在压缩感知的理论架构 下，对稀疏DOA估计可采用相关算法求解欠定方程式 (8)的最优或者次优稀疏解.在时间域内，通常称这种 稀疏估计为联合稀疏恢复.然而很多方法并没有就频 图1线型自适应天线阵列 域的稀疏性进行分析，因此在此重点讨论稀疏多普勒 Fig.1 Linear adaptive antenna array 域分析方法，对DOA的估计性能进行深入分析. 3.1傅里叶变换 在图1中，M代表的是天线阵元数，在坐标x轴上 首先将式(8)进行傅里叶变换，从而得到其对应 呈均匀分布，并且彼此之间的间距为山.假定信号是具 的频域表示如下： 有相同频率的窄带信号，所以当来波信号到达天线阵 r=As +ng (10) 列后可得网 式中，”：是对信号的相关列向量进行傅里叶变换所 (7) 得，同理s,和n也是傅里叶变换后的频域表达方式 其中m=1,2,,M,x.=（m-M)d,代表的是x 如果认为s中包含的非零列信号是窄带信号，那么在 2 进行傅里叶变换后，5，所对应的矩阵列向量相同位置 轴上具体的各天线阵元位置：B=西，其中入是自由空 上的信号也是非零的，即S,也为稀疏信号.进而可推 得只包含有K个非零列向量的"：也是稀疏的.为便于 间的波长∫是天线阵元的有效长度；n.是第m个天线 理解，图2表示式(10)在无噪声情况下的矩阵表现 上均值为零的加性高斯噪声样本.所以式(7)可以 形式 写成 在实际的DOA估计过程中，由于试验设施以及环 r=A(0)s+n. (8) 境等的限制使得快拍数是有限的，所以通常会引起信 其中r=,2,…,rw]T∈Cx.0=[a,6,…,0],A 号在时域发生截断.在对应到频域里，将导致频谱展 (0)=a(0,),a(62),…,a(0,)]是M×L维的阵列流 宽.接收端接收到的信号T,除了K个较大的非零信 型矢量.另外式中s=[W,W2,…,W]TeC1,n= 号值外，仍会存在其他一些非零值.。由于它们都十分 n,n2,…,n]TeCx.如果将其阵列流型矢量展 接近于零值，所以一般可忽略不计或被认为是零信号. 开，可表示为 然而在频谱展宽的情况下，3：中将会存在非零信号值 感知矩阵A M×L MxO 图2式(10)的矩阵描述图 Fig.2 Matrix description graph of Eq.(10)工程科学学报，第 37 卷，第 12 期 其中，l = 1，2，…，L，代表的是未知信号方向 θl 的个数． 在此假设 如 图 1 所示对线型天线阵列进行分析和 探讨． 图 1 线型自适应天线阵列 Fig． 1 Linear adaptive antenna array 在图 1 中，M 代表的是天线阵元数，在坐标 x 轴上 呈均匀分布，并且彼此之间的间距为 d． 假定信号是具 有相同频率的窄带信号，所以当来波信号到达天线阵 列后可得［18］ rm = ∑ L l = 1 Wly·fejβxmsinθl + nm ． ( 7) 其中 m = 1，2，…，M，xm ( = m － M + 1 ) 2 d，代表的是 x 图 2 式( 10) 的矩阵描述图 Fig． 2 Matrix description graph of Eq． ( 10) 轴上具体的各天线阵元位置; β = 2π λ ，其中 λ 是自由空 间的波长; f 是天线阵元的有效长度; nm 是第 m 个天线 上均值为零的加性高斯噪声样本． 所以式( 7) 可以 写成 r = A( θ) s + n． ( 8) 其中 r =［r1，r2，…，rM］T ∈CM × 1 ． θ =［θ1，θ2，…，θL］，A ( θ) =［a( θ1 ) ，a( θ2 ) ，…，a( θL) ］是 M × L 维的阵列流 型矢量． 另外式中 s = ［W1，W2，…，WL ］T ∈CL × 1，n = ［n1，n2，…，nM］T ∈CM × 1 ． 如果将其阵列流型矢量展 开，可表示为 a( θl ) =［ejβx1sin θl ，ejβx2sin θl ，…，ejβxmsin θl ］T ∈CM × 1 ． ( 9) 在压缩感知理论的架构下，如果 L 维信号向量 s 中只包含有 K 个非零输入值，即只有 K 行是非零的， 且满足 LMK． 至此可以认为 r 是测量值，A( θ) 是 感知矩阵，而 s 就是需要恢复出来的信号向量值． 可 以得出，理论上所谓的 DOA 稀疏估计，就是通过相关 算法恢复出 s 的非零行所在的位置信息． 3 多普勒域和角域下的压缩频谱感知理论 通过以上分析可以发现在压缩感知的理论架构 下，对稀疏 DOA 估计可采用相关算法求解欠定方程式 ( 8) 的最优或者次优稀疏解． 在时间域内，通常称这种 稀疏估计为联合稀疏恢复． 然而很多方法并没有就频 域的稀疏性进行分析，因此在此重点讨论稀疏多普勒 域分析方法，对 DOA 的估计性能进行深入分析． 3. 1 傅里叶变换 首先将式( 8) 进行傅里叶变换，从而得到其对应 的频域表示如下: rf = Asf + nf ． ( 10) 式中，rf 是对信号 r 的相关列向量进行傅里叶变换所 得，同理 sf 和 nf 也是傅里叶变换后的频域表达方式． 如果认为 s 中包含的非零列信号是窄带信号，那么在 进行傅里叶变换后，sf 所对应的矩阵列向量相同位置 上的信号也是非零的，即 sf 也为稀疏信号． 进而可推 得只包含有 K 个非零列向量的 rf 也是稀疏的． 为便于 理解，图 2 表示式( 10) 在无噪声情况下的矩阵表现 形式． 在实际的 DOA 估计过程中，由于试验设施以及环 境等的限制使得快拍数是有限的，所以通常会引起信 号在时域发生截断． 在对应到频域里，将导致频谱展 宽． 接收端接收到的信号 rf，除了 K 个较大的非零信 号值外，仍会存在其他一些非零值． 由于它们都十分 接近于零值，所以一般可忽略不计或被认为是零信号． 然而在频谱展宽的情况下，sf 中将会存在非零信号值 · 0661 ·