刘婷等：空间稀疏角域以及多普勒域下的DOA估计 ·1659· 近几年，压缩感知(compressed sensing,CS)作为一项 <)次非自适应性线性测量，即可恢复出等效稀疏向 新型的研究方法和手段，通过分析接收机处获取信号 量s,可得 的内在稀疏特性，可以更好地改善信号的频谱感知性 r=x=中你=⊙小 (1) 能刀.如果将压缩感知技术应用于DOA估计中，同样 其中测量向量r∈C“,同时测量矩阵重∈CWx与稀疏 可以很好地解决空间信号距离过近、快拍数较少的问 基亚是不相干的，这样能够保证矩阵O能够满足约束 题，并且还可以缓解一些参数估计方法所导致的限制， 等容特性(restricted isometry property,RIP).因此在压 比如常见的相干信号和较大的样本支持向量机问题. 缩传感理论框架下就可以讨论如何从观测得到的低维 在压缩感知理论支撑下，对DOA的估计通常会涉 数据中精确恢复初始高维数据，即对信号进行重构 及两个问题，即空间信号谱估计以及阵列流型向量的 下面通过引入范数来描述信号的重构问题，向量s的 选取.所谓基于压缩感知的DOA估计问题，就是在波 L范数可以表示为 束域空间内，或者说在波束的频域空间范围内，到达天 线阵列的平面波信号是稀疏的，因此可以将阵列导向 (2) 矢量建模成稀疏线性组合.在空间域范围内，天线阵 当P=0时即为L,范数，表示向量s中非零元的个 列本质是稀疏的，可充分利用这一固有属性，结合压缩 数.在信号s满足稀疏条件的情况下，欠定方程式(1) 感知理论来提高算法仿真的速度和精度，并且算法对 的求解问题就可以转变成求解最小L,范数的问题，即 于噪声有较好的鲁棒性.必须注意的是在采用压缩感 s=arg min‖s‖o,s.t.r=O仍 (3) 知理论的时候，采样矩阵必须要满足等距限制准则 直接求解最小L范数非常复杂.到目前为止，学 (restricted isometry property,RlP)以此来确保估计值 者们已经提出很多次优化算法来解决.主要包括以下 的可靠性图.基于贝叶斯的压缩感知方法通过采用相 几种 关向量基可以很好地解决这个问题，而且计算复杂度 (1)贪婪算法：典型代表是匹配追踪（matching 并没有很高，目前已经使用在微波成像以及相关数组 pursuit,MP）以及正交匹配追踪(orthogonal matching 合成中. pursuit,OMP) 本文研究了在稀疏角域以及稀疏多普勒域内，多 (2)凸松弛法：直接计算非凸L,范数是比较困难 天线阵列情况下的压缩频谱感知.以往对压缩频谱感 的，一般在保证稀疏特性的前提下，可采用L,范数来 知的研究，在涉及到稀疏恢复的过程时，大多数都是在 代替L,范数进行计算，比较常见的算法是基追踪(a- 单天线的情况下进行的.为使研究更趋一般性，本文 sis pursuit,BP）I-H☒ 提出了多路测量向量(multiple measurement vector, (3)非凸优化：使用非凸测量的方式来对信号进 MMV)网下的压缩频谱感知，利用接收信号的角度稀 行恢复，主要是通过L,(p≤1)范数来实现的，具体算 疏特性对DOA进行联合稀疏估计.虽然有学者对空 Focuss (focal underdetermined system solver) 间稀疏性已经提出很多行之有效的方法，但是在频率 (4)迭代阈值算法：例如迭代硬阈值(iterative 稀疏性方面，还存在着很大的研究空白.在采样环节 hard thresholding,IHT) 考虑频率的稀疏性，从而能有效减轻整个通信系统的 不失一般性，分析在有噪环境下的测试情况，于是 负担.同时结合多普勒频移，对多路天线阵下的DOA 可将式(3)变成以下形式： 进行了估计.仿真结果显示DOA估计的性能有很大 s=arg min s‖o,s.t.‖r-仍l3≤&.(4) 的改进. 其中ε为容许误差的阈值，即所能允许的误差最大值. 针对不同信号源数目下的DOA稀疏估计，主要分 通常可采用拉格朗日增广形式的方法将式(4)变为 析了单信号源和多信号源这两种情况.其中单信号源 arg min‖r-sl3+uslo (5) 保证实时通信下的稀疏DOA估计；与之不同的是，多 式中，正则化系数μ保证了真实值估计值的拟合质量 信号源在无需知道信号先验信息以及冲激信号强度的 与稀疏解之间的有效平衡 情况下，在最大程度上能够保证稀疏DOA估计结果的 同样在噪声环境下也衍生一系列的算法，比较常 高分辨率 见的主要有正则化OMP(regularized OMP, ROMP)的、正则化Focuss(regularized Focuss,RFo- 压缩感知理论 cuss)na、Lasso算法7等. 假定存在K稀疏的离散时间信号样本x∈C,并 2 DOA估计问题 且信号x在基平∈CxN下存在稀疏度也为K(KgN) 的信号s∈C,满足x=.通过利用压缩感知理论就 首先考虑存在L个电磁平面波，其理论式可为 可以很好地解决信号x的稀疏重构问题，即通过M(M W,(r）=W,eip4+am], (6)刘 婷等: 空间稀疏角域以及多普勒域下的 DOA 估计 近几年，压缩感知( compressed sensing，CS) 作为一项 新型的研究方法和手段，通过分析接收机处获取信号 的内在稀疏特性，可以更好地改善信号的频谱感知性 能［7］． 如果将压缩感知技术应用于 DOA 估计中，同样 可以很好地解决空间信号距离过近、快拍数较少的问 题，并且还可以缓解一些参数估计方法所导致的限制， 比如常见的相干信号和较大的样本支持向量机问题． 在压缩感知理论支撑下，对 DOA 的估计通常会涉 及两个问题，即空间信号谱估计以及阵列流型向量的 选取． 所谓基于压缩感知的 DOA 估计问题，就是在波 束域空间内，或者说在波束的频域空间范围内，到达天 线阵列的平面波信号是稀疏的，因此可以将阵列导向 矢量建模成稀疏线性组合． 在空间域范围内，天线阵 列本质是稀疏的，可充分利用这一固有属性，结合压缩 感知理论来提高算法仿真的速度和精度，并且算法对 于噪声有较好的鲁棒性． 必须注意的是在采用压缩感 知理论的时候，采样矩阵必须要满足等距限制准则 ( restricted isometry property，ＲIP) 以此来确保估计值 的可靠性［8］． 基于贝叶斯的压缩感知方法通过采用相 关向量基可以很好地解决这个问题，而且计算复杂度 并没有很高，目前已经使用在微波成像以及相关数组 合成中． 本文研究了在稀疏角域以及稀疏多普勒域内，多 天线阵列情况下的压缩频谱感知． 以往对压缩频谱感 知的研究，在涉及到稀疏恢复的过程时，大多数都是在 单天线的情况下进行的． 为使研究更趋一般性，本文 提出 了 多 路 测 量 向 量 ( multiple measurement vector， MMV) ［9］下的压缩频谱感知，利用接收信号的角度稀 疏特性对 DOA 进行联合稀疏估计． 虽然有学者对空 间稀疏性已经提出很多行之有效的方法，但是在频率 稀疏性方面，还存在着很大的研究空白． 在采样环节 考虑频率的稀疏性，从而能有效减轻整个通信系统的 负担． 同时结合多普勒频移，对多路天线阵下的 DOA 进行了估计． 仿真结果显示 DOA 估计的性能有很大 的改进． 针对不同信号源数目下的 DOA 稀疏估计，主要分 析了单信号源和多信号源这两种情况． 其中单信号源 保证实时通信下的稀疏 DOA 估计; 与之不同的是，多 信号源在无需知道信号先验信息以及冲激信号强度的 情况下，在最大程度上能够保证稀疏 DOA 估计结果的 高分辨率． 1 压缩感知理论 假定存在 K-稀疏的离散时间信号样本 x∈CN ，并 且信号 x 在基 Ψ∈CN × N 下存在稀疏度也为 K( KN) 的信号 s∈CN ，满足 x = Ψs． 通过利用压缩感知理论就 可以很好地解决信号 x 的稀疏重构问题，即通过 M( M ＜ N) 次非自适应性线性测量，即可恢复出等效稀疏向 量 s，可得 r = Φx = ΦΨs = Θs． ( 1) 其中测量向量 r∈CM，同时测量矩阵 Φ∈CM × N 与稀疏 基 Ψ 是不相干的，这样能够保证矩阵 Θ 能够满足约束 等容特性( restricted isometry property，ＲIP) ． 因此在压 缩传感理论框架下就可以讨论如何从观测得到的低维 数据中精确恢复初始高维数据，即对信号进行重构． 下面通过引入范数来描述信号的重构问题，向量 s 的 Lp范数可以表示为 ‖s‖p [ = ∑ N i = 1 | si | ] p 1 p ． ( 2) 当 p = 0 时即为 L0范数，表示向量 s 中非零元的个 数． 在信号 s 满足稀疏条件的情况下，欠定方程式( 1) 的求解问题就可以转变成求解最小 L0范数的问题，即 ^ s = arg min ‖s‖0，s． t． r = Θs． ( 3) 直接求解最小 L0范数非常复杂． 到目前为止，学 者们已经提出很多次优化算法来解决． 主要包括以下 几种． ( 1) 贪婪算法: 典型代表是匹配追踪( matching pursuit，MP) 以 及 正 交 匹 配 追 踪( orthogonal matching pursuit，OMP) ［10］． ( 2) 凸松弛法: 直接计算非凸 L0范数是比较困难 的，一般在保证稀疏特性的前提下，可采用 L1 范数来 代替 L0范数进行计算，比较常见的算法是基追踪( ba￾sis pursuit，BP) ［11--12］． ( 3) 非凸优化: 使用非凸测量的方式来对信号进 行恢复，主要是通过 Lp ( p≤1) 范数来实现的，具体算 法为 Focuss ( focal underdetermined system solver) ［13］． ( 4) 迭 代 阈值 算 法: 例如迭代硬阈值 ( iterative hard thresholding，IHT) ［14］． 不失一般性，分析在有噪环境下的测试情况，于是 可将式( 3) 变成以下形式: ^ s = arg min ‖s‖0，s． t． ‖r － Θs‖2 2≤ε． ( 4) 其中 ε 为容许误差的阈值，即所能允许的误差最大值． 通常可采用拉格朗日增广形式的方法将式( 4) 变为 arg min ‖r － Θs‖2 2 + μ ‖s‖0 ． ( 5) 式中，正则化系数 μ 保证了真实值估计值的拟合质量 与稀疏解之间的有效平衡． 同样在噪声环境下也衍生一系列的算法，比较常 见的主要有正则化 OMP ( regularized OMP， ＲOMP) ［15］、正 则 化 Focuss ( regularized Focuss，Ｒ-Fo￾cuss) ［16］、Lasso 算法［17］等． 2 DOA 估计问题 首先考虑存在 L 个电磁平面波，其理论式可为 Wl ( r) = Wle ［jβ( xsin θl + zcos θl ) ］y ． ( 6) · 9561 ·