九(本题满分8分) 设0<a<b,证明不等式 Inb -Ina 22 证先证右边不等式 =nx 因为 ( so 故当x>a时q(x)单调减少,又q(a)=0,所以,当x>a时q(x)<q(a)=0,即 Inx -Ina 从而当b>a>0时,lnb-lma<,即 再证左边不等式 证法1设函数f(x)=lnx(x>a>0) 由拉格朗日中值定理知,至少存在一点∈(a,b),使 Inb-Ina (Inx) 由于0<a<<b,故>1> ,从而 证法2设f(x)=(x2+a2)(lnx-lna)-2a(x-a)(x>a>0), 因为f(x)=2(mx-hm)+(x2+d)4-2n 2x(Inx -Ina)+ >0 故当x>a时f(x)单调增加,又f(a)=0,所以当x>a时、f(x)>f(a)=0,即 (x+a)(Inx -Ina)-2a(x-a)>0. 从而当b>a>0时,有(a2+b2)(lnb-lna)-2a(b-a)>0,即