24.设A是[0,1]中的 Lebesgue可测集,mA>0.证明对任意 0<a<m(A),存在 Lebesgue可测集EcA,使得mE=a 提示:先证明函数 m([0,x]⌒A)是[0,1]上的连续函数 25.证明§23推论7的结论 26.证明R"上的 Lebesgue测度是平移不变的,即对任意 Lebesgue可测集A和 ∈R”,成立 m(xo A)=m(a) 其中x+A={x0+x:x∈A} 27.设A是R中的L可测集,a∈R1.证明aA是L可测的并且 m(aA)=am(A) 其中aA={ax:x∈A} 28.设{n}是有理数的全体令 G=U 证明对任意闭集FcR有m(GAF)>0 29.设AcR,m(A)>0.证明存在x,y∈A,使得x-y不是有理数 30.设AcR",m(A)>0.证明存在x∈A,使得对任意r>0, m(A⌒U(x,r))>0 提示:先对A是有界闭集的情形证明,再利用§23推论7 31.设Ac[-1,1,m(A>1.证明存在A的可测子集E,使得E关于原点对称并 且m(E)>0.提示:考虑A∩(-A) 32.设0<c<1.在[O,中作出一个无内点的闭集F,使得m(F)=c 提示:仿照 Cantor集的构造方法 33设E是R中的L可测集,a∈R,δ>0.当x∈(-6,6)时,a+x和a-x 之中必有一点属于E,证明m(E)≥δ 提示:注意(-6,6)c(E-a)∪(a-E) 34.计算E的L测度,这里 E={x∈[o]:x的十进制小数中不出现7} 35.设F(x)是一单调增加的右连续函数,p是由F(x)导出的L-S测度.证明 (1)u(a})=F(a)-F(a-0) (2)HF(a,b)=F(b-0)-F(a) (3)4F(a+∞))=F(+∞)-F(a) 其中F(+∞)=limF(x) 注.由(1)知道,p({a})=0当且仅当F(x)在a连续71 24. 设 A 是 [0,1] 中 的 Lebesgue 可测集 , mA > 0. 证明对任意 0 < a < m(A), 存在 Lebesgue 可测集 E ⊂ A, 使得 mE = a. 提示: 先证明函数 f (x) = m([0, x]∩ A) 是[0, 1]上的连续函数. 25. 证明 2.3 推论.7 的结论. 26. 证明 n R 上的 Lebesgue 测度是平移不变的, 即对任意 Lebesgue 可测集 A 和 x0 ∈ , n R 成立 ( ) ( ), m x0 + A = m A 其中 { : }. x0 + A = x0 + x x ∈ A 27. 设 A 是 n R 中的 L 可测集, a ∈ . 1 R 证明 aA 是 L 可测的并且 m(aA) = a m(A). 其中 aA = {ax : x ∈ A}. 28. 设{ }nr 是有理数的全体. 令 ). 1 , 1 ( 1 U 2 2 ∞ = = − + n n n n r n G r 证明对任意闭集 F ⊂ 1 R 有 m(G∆F) > 0. 29. 设 A ⊂ , 1 R m(A) > 0. 证明存在 x, y ∈ A, 使得 x − y 不是有理数. 30. 设 A ⊂ , n R m(A) > 0. 证明存在 x ∈ A, 使得对任意 r > 0, m(A ∩U(x,r)) > 0. 提示: 先对 A 是有界闭集的情形证明, 再利用 2.3 推论.7. 31. 设 A ⊂ [−1,1], m(A) > 1. 证明存在 A 的可测子集 E , 使得 E 关于原点对称并 且 m(E) > 0. 提示: 考虑 A ∩ (−A). 32. 设 0 < c < 1. 在 [0,1] 中作出一个无内点的闭集 F, 使 得 m(F) = c. 提示: 仿照 Cantor 集的构造方法. 33. 设 E 是 1 R 中的 L 可测集, a ∈ , 1 R δ > 0. 当 x ∈ (−δ ,δ ) 时, a + x 和 a − x 之中必有一点属于 E, 证明m(E) ≥ δ . 提示: 注意(−δ ,δ ) ⊂ (E − a) ∪ (a − E). 34. 计算 E 的 L 测度, 这里 E = {x ∈[0,1]: x 的十进制小数中不出现 7}. 35. 设 F(x)是一单调增加的右连续函数, µ F 是由 F(x)导出的 L-S 测度. 证明 (3) (( , )) ( ) ( ). (2) (( , )) ( 0) ( ). (1) ({ }) ( ) ( 0). a F F a a b F b F a a F a F a F F F +∞ = +∞ − = − − = − − µ µ µ 其中 F( ) lim F(x). x→∞ +∞ = 注. 由(1)知道, ({a}) = 0 µ F 当且仅当 F(x)在 a 连续