10.设是X上的外测度,AcX.证明A是可测集当且仅当对任意E>0 存在一个可测集EcA使得'(A-E)<E 11.设是X上的一个环,并且全空间X可以表为中一列互不相交的集的 并,μ是上的σ有限测度.证明 (1)存在R中一列互不相交的{En},使得X=UEn并且(En)<+,n≥1 (2).在”上是G有限的 12.设C是X上的一个x类,并且全空间X可以表为C中一列互不相交的集 的并,山1和2是(C)上的两个有限测度.证明若在C上1=H2,则在(C)上 1=2 提示:令界={A:A∈(C),H1(A)=H2(A)}利用推论1312 13.设(X)=1,{An}是X中的一列可测集,(A)=1,n21则(∩4)=1 14.设(X)=1,A1…,A是X中可测集∑(4)>n-1.则(∩4)>0 15.设C是Rn中有界的左开右闭方体的全体所成的集类.证明C是一个半环 提示:对R”的维数n用数学归纳法并且利用等式 AxB-C×D=[(A-C)×Bu[A∩C)×(B-D 16.设Ⅰ={a1,b]x…x[an2bn]是R”中的一个闭方体则对任意E>0,存在左开 右闭闭方体l1和I2,使得1cIc12,并且 川-团|<6,|2-1<E 17.设AcR".证明A是L可测集当且仅当对任意E>0,存在开集G1和G2,使 得G1A,G2A,并且m(G1∩G2)<E 18.设A是直线上的可数集.用L测度的定义直接证明m(A)=0. 19.在[0,1定义f(0)=0,f(x)=xsin(当x>0) m({x∈[0,1]:f(x)≥0}) 20.证明R的任意子集A作为R2的子集是L可测的并且m(A)=0 21.在区间[0,1中作出一个闭集F,使得F不包含任何有理数 并且mF>0 22.在直线上作一个无界的开集G使得m(G)=1 23.设E是[0,1中的有理数的全体.{1;…k}是k个开区间使 得Ec∪1证明∑≥170 10. 设 ∗ µ 是 X 上的外测度, A ⊂ X. 证明 A 是 ∗ µ -可测集当且仅当对任意ε > 0, 存在一个 ∗ µ -可测集 E ⊂ A 使得 µ ( − ) < ε. ∗ A E 11. 设R 是 X 上的一个环, 并且全空间 X 可以表为R 中一列互不相交的集的 并, µ 是R 上的σ 有限测度. 证明: (1).存在R 中一列互不相交的{ }, En 使得 U ∞ = = n 1 X En 并且 (E ) < +∞, n ≥ 1. µ n (2). ∗ µ 在 ∗ R 上是σ 有限的. 12. 设C 是 X 上的一个π 类, 并且全空间 X 可以表为C 中一列互不相交的集 的并, µ1和 µ 2 是σ (C ) 上的两个有限测度. 证明若在C 上 , µ1 = µ 2 则在σ (C ) 上 . µ1 = µ 2 提示: 令F ={ : ( ), ( ) ( )}. A A∈σ C µ1 A = µ 2 A 利用推论 1.3.12. 13. 设 µ(X ) = 1, { } An 是 X 中的一列可测集, (A ) = 1, n ≥ 1. µ n 则 ( ) 1. 1 = ∞ = I n µ An 14. 设 µ(X ) = 1, A An , , 1 L 是 X 中可测集, ∑= > − n i i A n 1 µ( ) 1. 则 ( ) 0. 1 > = I n i µ Ai 15. 设C 是 n R 中有界的左开右闭方体的全体所成的集类. 证明C 是一个半环. 提示: 对 n R 的维数 n 用数学归纳法. 并且利用等式 A× B − C × D = [(A − C)× B]∪[(A ∩ C)× (B − D)]. 16. 设 [ , ] [ , ] 1 1 n n I = a b ×L× a b 是 n R 中的一个闭方体. 则对任意ε > 0, 存在左开 右闭闭方体 1 I 和 2 I , 使得 , 1 2 I ⊂ I ⊂ I 并且 , . 1 2 I − I < ε I − I < ε 17. 设 A ⊂ . n R 证明 A 是 L 可测集当且仅当对任意ε > 0, 存在开集G1 和 , G2 使 得 , G1 ⊃ A , 2 c G ⊃ A 并且 ( ) . 1 2 m G ∩ G < ε 18. 设 A 是直线上的可数集. 用 L 测度的定义直接证明m(A) = 0. 19. 在 [0, 1] 定 义 f (0) = 0, x f x x 1 ( ) = sin ( 当 x > 0). 计 算 m({x ∈[0, 1]: f (x) ≥ 0}). 20. 证明 1 R 的任意子集 A 作为 2 R 的子集是 L 可测的并且 m(A) = 0. 21. 在区间 [0,1] 中作出一个闭集 F , 使 得 F 不包含任何有理数 , 并且 mF > 0. 22. 在直线上作一个无界的开集G 使得 m(G) = 1. 23. 设 E 是 [0,1] 中的有理数的全体 . { , , } 1 k I L I 是 k 个开区间使 得 . 1 U k i i E I = ⊂ 证明 1. 1 ∑ ≥ = k i i I