张超等：双金属复合板矫直过程的弯曲及弹复解析 ·1319. 量的方程，对其耦合关系进行求解.所以，对于双金属 式中：，为截面纯弹性变形时量纲一的中性层偏移量. 复合板确定截面弹塑性状态演变路径是进行后续计算 将式(5)中积分展开并化简，可得 的基础.如图1所示，截面的弹塑性状态是P、P,和P 4+(入E-1)A2 三部分弹塑性状态的组合.一般情况下，P,可能的弹 e1=1-4+2(X-1)入 (6) 塑性状态有三种：弹性变形、弹塑性变形和完全塑性变 将e,代入式(4)可求得G4、0a、Gc和G,等于1时 形.P2、P,可能的弹塑性状态有两种：弹性变形和弹塑 A、B、C和D四点处分别对应的弯曲曲率比C4、CB、Cc 性变形.双金属复合板弯曲过程中截面可能的弹塑性 和C。,它们中最小值即为截面的弹性变形极限曲率比 状态理论上有3×2×2，即12种情况，它们对应的中 C,:最小值对应的位置在弯曲曲率比达到C,时，最先发 性层偏移量计算公式和弯矩-曲率关系(M-C关系)表 生塑性变形.至此，复合板截面在弹性变形时的极限 达式各不相同，下面将对其关系进行研究. 曲率比和随着弯曲曲率比增大最先发生塑性变形的位 1.2截面弹塑性状态演变路径判定方法 置就确定了，将上述步骤称为截面弹塑性状态演变过 双金属复合板弯曲过程截面的弹塑性状态可以根 程判定第1步 据图1中A,B、C和D四点的应力值进行判断，A和B 1.2.2截面弹塑性变形状态 点分别对应覆层上侧和下侧，C和D点分别对应基层 假设在第1步中是A处率先发生塑性变形，即此 上侧和下侧.覆层受拉（后续分析均以此种弯曲方式 时的C,的值为上一步求得的C4,当弯曲曲率比稍大 为例)，弯曲曲率为A时，双金属复合板沿厚度截面的 于C,时，截面P,弹塑性变形，P,和P,弹性变形（覆层弹 应变分布为 塑性变形，基层弹性变形).若材料模型满足理想弹塑 s=g4-e)=号-e)=2c-o以0 性模型，根据截面应力平衡方程可求得此时的量纲一 的中性层偏移量为 根据式(1)，弯曲曲率比为C时，在弹性范围内沿 厚度截面的应力分布为 |0:=AECO2(z-e),1-A≤z≤1； (2) (=Co2(2-e), -1≤≤1-入. 入2_2+入-入+1. (7) 入EC入E 式中，0，为覆层弯曲应力，σ为基层弯曲应力，入为覆 式中：e,为截面P弹塑性变形，P,和P,弹性变形时量纲 层量纲一的厚度 一的中性层偏移量. 此时，图1中A,B、C和D四处在弹性范围内的弯 将e,代入式(4)中可求得0a、c和云。值为1时 曲应力值为 B、C和D三点处分别对应的弯曲曲率比Cn、C和C。 c4=入k02C(1-e), 值，其中的最小值即为截面P,弹塑性变形，P,和P,弹 0g=Ae0,C(1-入-e), 性变形的弯曲曲率比上限C2,当弯曲曲率比略大于 (3) 0c=Coa(1-入-e), C,时，C,求解过程对应的位置将发生塑性变形.上述 (op=-Co2(1+e). 步骤称为截面弹塑性状态演变过程判定的第2步.如 将式(3)中A和B处的弯曲应力与覆层屈服极限 此反复，经过四步，即能确定随着弯曲曲率比C变化 σ做比值，C和D点的弯曲应力与基层屈服极限σ2 的截面弹塑性状态以及中性层偏移量. 做比值，取绝对值为 1.3双金属复合板截面弹塑性状态演变规律 a,=入sC(1-e)/A., 由上文分析可知双金属复合板截面弹塑性状态演 Gm=入EC(1-A-e)/A, 变路径的判定需要四步，意味着对于双金属复合板，随 (4) c=C(1-A-e), 着弯曲曲率的增大，截面将经历五种不同的截面弹塑 性状态.经过四步判定过程，理论上可求得双金属复 G。=C(1+e). 当式(4)中的G4、04、。和。值不小于1时，表 合板弯曲过程的载面弹塑性状态演变路径，但一般情 明此处发生塑性变形. 况下，中性层偏移量e与弯曲曲率比C存在着复杂的 1.2.1截面弹性变形状态 函数关系（如式(7）所示)，导致计算过程难以继续. 弯曲曲率比C较小时，此时复合板截面处于纯弹 若双金属复合板在弯曲曲率较大时，满足“截面 性变形状态，4、Ga、可。和G。的值均小于1，根据截面 P塑性变形，P,和P,弹塑性变形”的假设，演变过程计 应力平衡方程可得 算的第1步和第4步就分别是确定满足截面为纯弹性 变形的最大曲率比，即截面的弹性极限曲率比C,以及 Coa(:-e)d=+J ACo(:-e)d:=0. 使截面P,塑性变形和P,、P,弹塑性变形的最小弯曲曲 (5) 率比C,·截面纯弹性变形时中性层偏移量e,如式(6)张 超 等 ：双金属复合板矫直 过程 的弯曲及弹复解析 ·1319· 量 的方程 ，对其耦合关系进行求 解．所 以 ，对于双金 属 复合板确定截面弹塑性状态演变路径是进行后续计算 的基础．如 图 1所示 ，截面的弹塑性状态是 P 、P，和 P 三部分弹塑性状 态 的组合．一 般情 况下 ，P可 能 的弹 塑性状态有三种 ：弹性变形 、弹塑性变形 和完全塑性变 形．P，、P可能的弹塑性状态有 两种 ：弹性变形 和弹塑 性 变形．双金属复合板弯 曲过程 中截 面可能 的弹塑性 状 态理论上 有 3×2X2，即 l2种 情况 ．它们 对应 的 中 性层偏移 量计算 公式和弯矩一曲率关 系( c关系 )表 达式各不 相同 ，下 面将对 其关系进行研 究． 1．2 截面弹塑性状态演变路径判定方 法 双金 属复合 板弯曲过程截面的弹塑性状态可 以根 据 图 1中 、B、C和 D 四点 的应 力值进行判 断 ，4和 B 点分别对应覆层上侧 和下侧 ．C和 D点分 别对 应基层 上侧和下侧．覆层 受拉 (后续 分析 均 以此 种弯 曲方 式 为例 )，弯曲 曲率为 A时 ，双金属 复合 板沿厚 度截面 的 应变分布为 ： (… )： (… )： c(… )．(1) - t 2 根据式 (1)，弯 曲曲率 比为 c时 ，在 弹性范 围内沿 厚度截 面的应力 分布为 Iff=： ACaE(：(s2(一ze—)e，)，1一一1A≤≤≤≤11一；A． ‘2 式 中 ，，为覆层 弯 曲应 力 ， 为基 层弯 曲应力 ，A为 覆 层量纲一 的厚度． 此时 ，图 1中 、B、C和 D四处 在弹性 范 围内的弯 曲应力值为 将式 (3)中 A和 B处 的弯 曲应 力与覆层 屈服极 限 。做 比值 ，C和 D点 的弯 曲应 力 与基层 屈 服极 限 做 比值 ，取绝对值 为 当式 (4)中的 、 。、 。和 值不 小于 1时 ，表 明此处发生塑性变形． I．2．1 截面 弹性变形状态 弯 曲曲率 比 c较小 时 ，此时 复合板截 面处 于纯 弹 性变形状态，I4、 、 和 的值均小于 1，根据截面 应力平衡方程可得 cl—A rl f一 l c s2(z—e1)dz+f1一^ AE 2(—e1)dz=0． (5) 式 中：e为截面纯弹性变形时量纲一的 中性层偏移量． 将 式 (5)中积 分展开并化简 ，可得 ． 一 4+(AE一1)A ，、 ‘ 0 将 e．代入式 (4)可求 得 、 、。和 等于 1时 、 曰、c和 D四点处 分别对 应 的弯曲 曲率 比 c 、C 、C 和 C ，它们 中最小值 即为截 面的弹性变形 极限 曲率 比 c．；最小值对应 的位置在弯 曲曲率 比达到 c．时 ，最先发 生塑性变形．至此 ．复 合板截 面在 弹性 变形 时 的极 限 曲率 比和随着弯 曲曲率 比增大最先发生塑性变形 的位 置就确定 了．将上述 步骤称 为截 面弹塑性状 态演变过 程判定第 1步． 1．2．2 截面弹塑性变形状态 假 设在第 1步中是 A处率 先发生 塑性 变形 ，即此 时的 C．的值 为上一 步求 得 的 C．当弯曲 曲率 比稍 大 于 C．时 ，截面 P弹塑性变形 ，P，和 P弹性 变形 (覆层 弹 塑性变形 ，基层 弹性变形 )．若材料 模型满 足理想 弹塑 性模 型 ，根据截 面应 力平衡 方程 可求得 此时 的量纲一 的中性层偏移 量为 √ (4+A2 一 )+×一 A 一 一 A (7) E C AE ‘ 。 ’ 、 式 中：e，为截面 P．弹塑性变形 ，P，和 P弹性变形时量纲 一 的 中性层偏移量． 将 e，代人式 (4)中可求得 、 和 值为 1时 、 c和 D三点处 分别对 应 的弯 曲曲率 比 C 、C 和 C 值 ，其 中的最小值 即为截 面 P，弹塑性 变形 ，P，和 P弹 性变形 的弯 曲曲率 比上 限 C，．当弯 曲曲率 比略大 于 C，时 ， 求解过 程对应 的位 置将 发生 塑性 变形．上述 步骤称为截 面弹塑性状态演变过程 判定的第 2步．如 此反复 ，经过 四步 ，即能 确定 随着 弯 曲 曲率 比 C变化 的截面弹塑性状态 以及 中性层偏移量． 1．3 双金属 复合板截面弹塑性状态演变规律 由上文分析可知双金属复合板截面弹塑性状态演 变路径 的判定需要 四步 ，意味着对于双金属复合板 ，随 着弯 曲曲率 的增大 ，截 面将经 历五种 不 同的截 面弹塑 性状态．经过 四步 判定 过程 ，理论上 可求 得双 金属 复 合板弯曲过程的截面 弹塑性状 态演变 路径 ，但一般 情 况下 ．中性层 偏移量 e与弯 曲曲率 比 c存在着 复杂 的 函数 关系(如式 (7)所示 )，导致计算过程难 以继续． 若 双金 属复合 板 在 弯 曲曲率 较大 时 ，满 足 “截 面 P塑性变形 ，P，和 P弹塑性 变形 ”的假设 ，演 变过程计 算 的第 1步 和第 4步就分别是确定满足截面为纯 弹性 变形 的最大 曲率 比 ，即截 面 的弹性 极 限曲率 比 c+以及 使截面 P塑性变形和 P，、P弹 塑性 变形 的最小 弯 曲曲 率 比 C．截面纯弹性变形时 中性层 偏移量 e如式 (6) A 一 一 ^ + 1 l — l C C 1 ( 4 ^ ， ／ A e ， ／ 一 ) ． 一 一 A 1 l _一 +_ Ch G 1 1 = = = = 一 一 一