第一章控制系统的数学描述 1.1微分方程 111物理系统的微分方程 利用机械学、电学、流体力学和热力学等的物理规律,我们可以得到物理系统的动态 方程。它们通常用常系数线性微分方程来描述 1.1.2数值解 通过拉普拉斯变换和反变换,可得到线性时不变方程的解析解,也可用状态转移矩阵 φ(t)求解。这些分析方法通常只限于常系数的线性微分方程。解析解是精确的,然而通常寻 找解析解是困难的,甚至是不可能的。而数值分析方法直接在时域里求解微分方程,不仅适 用于线性时不变方程,也适用于非线性以及时变微分方程。 MATLAB提供了两个求微分方程数值解的函数,它们采用龙格-库塔( Ode23和ode45分别表示采用2阶和4阶龙格-库塔公式,后者具有更高的精度 n阶微分方程必须化为n个首1的一阶微分方程组,且放入M文件中,以便返回方程 状态变量的导数,下面的例子介绍这些函数的用法。 例1.1对图1-1的机械系统,已知三个量一一拉力、摩擦力、以及弹簧力都影响质量 M的加速度 利用牛顿运动定理,建立系统的力平衡方程式 d x+b-+Kx=f(t) B d. 令x1=X,X2=,有 (t) x(t) dx dtx2 图1-1 =[f(t)-Bx2-Kx1] 设质量M=lkg,摩擦系数B=5Nm/sec,弹簧常数K=25N/m。在=0时刻,施加25N的 拉力。上述方程及已知量在M文件 mechsys m中定义如下 function dot=mechsys(t, x) F=251 第一章 控制系统的数学描述 1.1 微分方程 1.1.1 物理系统的微分方程 利用机械学 、电学、流体力学和热力学等的物理规律，我们可以得到物理系统的动态 方程。它们通常用常系数线性微分方程来描述。 1.1.2 数值解 通过拉普拉斯变换和反变换，可得到线性时不变方程的解析解，也可用状态转移矩阵 φ(t)求解。这些分析方法通常只限于常系数的线性微分方程。解析解是精确的，然而通常寻 找解析解是困难的，甚至是不可能的。而数值分析方法直接在时域里求解微分方程，不仅适 用于线性时不变方程，也适用于非线性以及时变微分方程。 MATLAB 提供了两个求微分方程数值解的函数，它们采用龙格-库塔(Runge-kutta)法。 Ode23 和 ode45 分别表示采用 2 阶和 4 阶龙格-库塔公式，后者具有更高的精度。 n 阶微分方程必须化为 n 个首 1 的一阶微分方程组，且放入 M-文件中，以便返回方程 状态变量的导数，下面的例子介绍这些函数的用法。 例 1.1 对图 1-1 的机械系统，已知三个量——拉力、摩擦力、以及弹簧力都影响质量 M 的加速度。 利用牛顿运动定理，建立系统的力平衡方程式 Kx f(t) dt dx B d t d x M 2 2    令 dt dx x1  x, x2  ，有 2 1 x dt dx  设质量 M=1kg，摩擦系数 B=5N/m/sec，弹簧常数 K=25N/m。在 t=0 时刻，施加 25N 的 拉力。上述方程及已知量在 M-文件 mechsys.m 中定义如下： function xdot=mechsys(t, x); F=25; [f(t) Bx Kx ] M 1 dt dx 2 1 2   