262 高等数学重点难点100讲 求是lim-f(x)dx=0,所以M-dU是不是比dx高阶的无穷小,这一步是必须检查 的. (1)关于体积我们有0<V-dv<π2[(x+dx)2-x2]dx=mk2(2x+dx)(dx)2 =o(dx)因此,dv确是V的微分,故积分的结果符合实际 2)关于侧面积我们用中学数学中关于圆弧的长和圆扇形的面积公式,可求得小圆台 的侧面积为 △S=2mk√①十k2xdx+mk√1+k2(dx)2(*) 事实上,将图69-1(a)中高为x+dx的圆锥沿母线AB剪开并展平,得图69-1(b).图中OA x+k,D万=(x+dx)√+k,由2kxx=甲√x+(kx),得甲=一2 1+ 故 AS=(OB2-0A)9={[(x+dx)Ⅵ1+k2]-(xⅥ1+k)/、2mk 1+k2 2π√①十kxdx+πk√1+k2(dx)2 故与我们前面所找的dS之差为 △S-dS=2kx(√1十k-1)dx+πk√1+kdx)2 容易看出,这个差与dx是同阶无穷小量(当dx→0)故上述dS不是S的微分,积分得 出结果当然不对了 从(*)式可以看出,的微分应当是ds=2kx√1+kxdx,故 S=2k√+2xdx 这个结果才是正确的 通过这个问题的分析,主要是加深我们对“微元法”的理解.关键是所得到的微元一定 要是待求量的微分,然后再积分,才不会错.最后指出:用积分法解应用题时,切忌硬套公式, 至为重要的是灵活运用“元素法”在求积分元素时,要具体分析实际问题的特点,研究怎样 分割所要求的量,才能使运算更为方便,通过扎实训练,切实会用“元素法”为后续课程打 下良好的基础