13、设∫:{a,+∞)→R是单调增函数,证明下面三个命题是等价的 (1)limf(xn)存在且有限;(2){f(m)}是收敛数列;(③3)∫在[a,+∞)上有上界 14、利用无穷小的等价代换求下列极限: Cos 1+sin22-l ar tan r (4)l-mo sin(2r) (5)lim (i+tan E-1(V1+1-1 (1 os a)tan I (1 15、设fg:ACR→R是两个函数,且vx∈A,f(x)>0,则称形如f(x)(x)的函数为幂指函 数。若limf(x)=1,img(x)=∞,则极限limf(x)()属于1型不定式。对于这类不定式,一般利 用等式f(x)9(x)=e()mf()转化为讨论0·∞型不定式img(x)lnf(x)的极限问题 (1)设g1(x)~g2(x)证明:若imf(x)%()存在,则imf(x)91(x)=limf(x)92(x) (2)假定 lim In a=lnxo,即对数函数y=mnx是连续的(见有关章节),证明:若limf(x) a>0, lim g(r)=b, Du lim f(r) 9i(a)=ab (3)求下列极限:im(1+sinr)x 16、证明:函数f在x0点连续←→在x既左连续又右连续。 17、两个在xo处不连续函数之和在xo是否一定不连续?若其中一个在xo处连续,一个在 处不连续,则它们的和在x0处是否一定不连续? 18、证明:若∫连续,则|升也连续。逆命题成立吗 19、证明:若连续函数在有理点上函数值为零,则此函数恒为零。 20、若函数∫在叵连续,恒正,按照定义证明在叵可连续。 21、若∫和g都在叵a可连续。试证明:max{f(x),g(x)}以及min{f(x),9()}都在[a,b连续。 22、若∫是连续的。证明:对于任何c>0,函数 若f(x) (x)={f(x,若|f(x)≤ C,若f(x)>c 23、若∫在[a,b连续,a<x1<x2<…<xn<b,则在{x1,xn]中必有ξ使 f()=f(x)+f(x2)+…+f(xn) 24、设函数∫在(-∞,+∞)满足 Lipschitz条件:彐M>0,使得Ⅵx,y∈(-∞,+∞)恒有 f(x)-f(y)≤M|x-列证明:∫在(-∞,+∞)上一致连续4 13 " f : [a, +∞) → R !HN2OPA3!IJ (1) lim x→+∞ f(xn) 8#Æ$ 2 (2) {f(n)} !0./2 (3)f # [a, +∞) L$LE# 14 K*EQRIJLMG2/  (1) limx→0 1 − cos x sin2 x ; (2) limx→1 5x2 − 2(1 − cos2 x) 3x2 + 4 tan2 x ; (3) limx→0 1 + sin2 x − 1 x tan x ; (4) limx→0 tan(tan x) sin (2x) ; (5) limx→0 ( √3 1 + tan x − 1)(√1 + x2 − 1) tan x − sin x ; (6) lim x→0− (1 − √ n cos x) tan x (1 − cos x)3/2 . 15 " f,g : A ⊂ R → R !NAÆ ∀x ∈ A, f(x) > 0, :OSK f(x)g(x) H TU V #6 lim f(x)=1, lim g(x) = ∞, : lim f(x)g(x) W1 1∞XYZ #P1[Q-$\RK *I\ f(x)g(x) = eg(x) ln f(x) ]SH^T 0 · ∞ _-$\ lim g(x) ln f(x)  &U  1 " g1(x) ∼ g2(x). 6 lim f(x)g1(x) 8#: lim f(x)g1(x) = lim f(x)g2(x) ;  2 V$ limx→x0 ln x = ln x0 WP y = ln x ! $X`Y6 limx→x0 f(x) = a > 0, limx→x0 g(x) = b, : lim f(x)g1(x) = ab;  3 G2/  limx→0 (1 + sin x) 1 x ; limx→∞(cos 1 x ) x2 . 16  f # x0  ⇐⇒ # x0 Za bc # 17 NA# x0 @- d[# x0 !($- Æ6e'A# x0 @ A# x0 @- :fg[# x0 @!($- Æ 18 6 f  : |f| h #i3\]^Æ 19 6 #$_ LjH`:aGH`# 20 6 f # [a, b]  G4bk$% 1 f # [a, b]  # 21 6 f [ g 7# [a, b]  #) max{f(x), g(x)} lc min{f(x), g(x)} 7# [a, b]  # 22 6 f ! #P1 c > 0  F(x) =    −c, 6 f(x) < −c f(x), 6 |f(x)| ≤ c c, 6 f(x) > c ! # 23 6 f # [a, b]   a<x1 < x2 < ··· < xn < b, :# [x1, xn] '*$ ξ M f(ξ) = f(x1) + f(x2) + ··· + f(xn) n . 24 " f # (−∞, +∞) dm Lipschitz 96 ∃M > 0, MF ∀x, y ∈ (−∞, +∞) G$ |f(x) − f(y)| ≤ M|x − y|.  f # (−∞, +∞) Ln #