高等数学教案 第十二章无穷级数 0=4E1 π24n2-1 cosnt)(-c<t<+0). 奇延拓与偶延拓：设函数孔x)定义在区间0，河上并且满足收敛定理的条件，我们在开 区间(-π，0)内补充函数fx的定义，得到定义在(-π，对上的函数Fx,使它在(-π，d上成为奇 函数（偶函数）.按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓（偶延拓）.限制在(O,才上，有 F(x)=f(x). 例6将函数fx)=+1(0≤x≤d分别展开成正弦级数和余弦级数. 解先求正弦级数.为此对函数x进行奇延拓 6,=是∫fs血m=是x+snm-2-co+n匹-o16 n n2 n -Jo 2.π+2 n=1,3,5, =2-πcosn--cosn) πn nπ -2 n=2,4,6,… 函数的正弦级数展开式为 x+1-2[a+2到smx-sm2x+号r+2sm3x-吾sm4+…]0c对 在端点=0及=π处，级数的和显然为零，它不代表原来函数f孔x)的值. 再求余弦级数.为此对孔x)进行偶延拓. a,-2 cod=是x+cosk=2-nm+com_血16 n n 0 n=2,4,6,… (cosnπ-)= 2 4 n2元 n=1,3,5,… 是x+h-品号+=+2 函数的余弦级数展开式为 x+1=受+l-（osx+7os3r+3cos5r+…）0sx5动. π -6-