高等数学教案 第十二章无穷级数 a,-2 ()cosm-a123力 bn=0(n=1,2, 因此偶数函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数 例4设x)是周期为2π的周期函数，它在[-π上的表达式为fx)=x.将fx)展开成傅 里叶级数， 解首先，所给函数满足收敛定理的条件，它在点=(2k+1)k=0,±1，±2，··)不连续 因此f孔x)的傅里叶级数在函数的连续点#(2k+1)π收敛于f孔x),在点x=(2k+1)k=0,±1，±2，·) 收敛于 2fu-0+f-π-01=x+(-xl0. 其次，若不计=(2k+1)k=0,±1，±2，)，则f孔x)是周期为2π的奇函数.于是 0n=0(n=0,1,2,,而 么，-2sn=子xsnm 5=2m子(m23 π n n fx)的傅里叶级数展开式为 f闭=24sinx-2m2r+兮sn3x-+(-yn1Lsnm+ (-0<X<+0,#±石±3π，…） 例5将周期函数0)=E小si血展开成傅里叶级数，其中E是正的常数 解所给函数满足收敛定理的条件，它在整个数轴上连续，因此u()的傅里叶级数处处 收敛于u(t) 因为u(t)是周期为2π的偶函数，所以bm=0(n=1,2,·,而 a,-是40 co-2Esn吃o [sin(n+-sin(- cos(n+)t cos(n-1)t n 2 4E -(n=0,1,2, (4n2-1) 所以u(t)的傅里叶级数展开式为 -5-