高等数学教案 第十二章无穷级数 =)+ (n=1,2,. n fx)的傅里叶级数展开式为 fw=晋+(2cosx+sim)2m2x+(os3x+5n3刘 4 32π 5字元cos5r+写in5刘)-…（←<切；x对元士3元…小 4in 4x+(2 周期延拓：设孔x)只在[-π河上有定义，我们可以在[-π或(-π丙外补充函数f孔x)的定义， 使它拓广成周期为2π的周期函数Fx,在(-πd内，Fx)=x). 例3将函数 f(x)= -π≤x<0 0≤x≤π 展开成傅里叶级数， 解所给函数在区间-π才上满足收敛定理的条件，并且拓广为周期函数时，它在每一 点x处都连续，因此拓广的周期函数的傅里叶级数在一石才上收敛于孔x) 傅里叶系数为： a=元「fk=元（←+x=元； a,=,f)Dcosnxd-=,（←))cosnxdx+了xcosnxds 4 n2 n=l,3,5,… n=2,4,6,… )sin xd()sin nds+xsin nd0(.. 于是f孔x)的傅里叶级数展开式为 f0w)=受-是（cosx+cos3x+京cos5x+…)儿Ex≤对 三、正弦级数和余弦级数 当f孔x)为奇函数时，f孔x)cos nx是奇函数，f孔<)sin nx是偶函数，故傅里叶系数为 0n=0(n=0,1,2,·, 6,=是fsnk1,23 因此奇数函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数 n=1 当f孔x)为偶函数时，f孔x)cos nx是偶函数，f孔x)sin nx是奇函数，故傅里叶系数为 -4-