6.1点估计 5 在固定b时，显然似然函数为a的单调增函数，因此L(a)的聚点为à=x再令%D= 0,得到b=是∑(：-x口)，容易验证此解是最大值点。从而得到a,b的极大似然估计 TL i=1 量 a=X(1) =a∑(X-X 1=1 ▣ 例6.5.设X1,·,Xn为从如下分布中抽取的简单样本，求0的MLE. 2-0(1-0)2-+02-1-8)1,x=0,120e0, 1 f(x)= 解：由题设知f(x)为离散型，其分布律为 0 1 2 P [(1-0)2+2]20(1-0) 2[(1-0)2+21 若直接从此分布出发，则不能得到的MLE的显式表达。为此，我们重新参数化， 记n=20(1-0).则由题设知n>1/2。则 0 2 (1-) (1-) 再记n=#{X1,…,Xn中等于的个数}，i=0,1,2,则得到似然函数为 L()=(与1-》7（与1-》=(1-》严- 求解并注意n的下界即得到n的MLE为 再由0=1-五得到0的MLE为 6=1-V1-2场 2 ▣ 6.1.3 估计量的评选标准 我们看到对同一个参数，有多个不同的估计量，因此，评选不同估计量的优劣性 是需要考虑的。 1.无偏性6.1 :O 5 3½bûßw,q,ºÍèa¸NOºÍßœdL(a)‡:èaˆ = x(1)"2-∂L(a,b) ∂b = 0ßb = 1 n Pn i=1 (xi − x(1))ßN¥yd)¥Ååä:"l a, b4åq,O ˛:    aˆ = X(1) ˆb = 1 n Pn i=1 (Xi − X(1)). ~6.5. X1, · · · , XnèlXe©Ÿ•ƒ{¸߶θMLE. f(x) = 1 x!(2 − x)![θ x (1 − θ) 2−x + θ 2−x (1 − θ) x ], x = 0, 1, 2; θ ∈ (0, 1 2 ) ): dKf(x)èl—.ߟ©ŸÆè X 0 1 2 P 1 2 [(1 − θ) 2 + θ 2 ] 2θ(1 − θ) 1 2 [(1 − θ) 2 + θ 2 ] eÜld©Ÿ—ußKÿUθMLEw™Là" èdß·Ç­#ÎÍzß Pη = 2θ(1 − θ). KdKη > 1/2"K X 0 1 2 P 1 2 (1 − η) η 1 2 (1 − η) 2Pni = #{X1, · · · , Xn•uiáÍ}, i = 0, 1, 2, Kq,ºÍè L(η) = (1 2 (1 − η))n0 η n1 ( 1 2 (1 − η))n2 = (1 2 (1 − η))n−n1 η n1 ¶)ø5øηe.=ηMLEè ηˆ = min{ n1 n , 1 2 } 2dθ = 1− √ 1−2η 2 θMLEè ˆθ = 1 − √ 1 − 2ˆη 2 6.1.3 O˛µ¿IO ·ÇwÈ”òáÎÍßkıáÿ”O˛ßœdßµ¿ÿ”O˛`5 ¥Iáƒ" 1. Æ5