第六章参数估计 设(X1,·,Xn)为待估参数函数g(0)的一个估计量，若 Eg(X1,·,Xn)=g(0) 则称g(X1,·,Xn)为g(0)的无偏估计量(Unbiased Estimator)。无偏性是对一个估计量 的最基本的要求。无偏性能够消除系统误差，因此在有多个估计量可供选择时，我们 优先考虑无偏估计量。 2.有效性(Efficiency) 设1(X1,·,Xn)和g2(X1,·,Xn)为待估参数函数g(0)的两个不同的无偏估计量， 若对任意的0∈日，有 Var(g1(X1,·,Xn)≤Var(g2(X1,·,Xn) 而且至少对某个00∈Θ使得严格不等式成立。则称g1较g2有效。 3.相合性和渐近正态性 定义6.1.3.设总体分布依赖于参数01，…，0，g(01,·,0k)是待估参数函数。设X1,·,Xn为 自该总体中抽取的样本，T(X1,…,Xn)为g(01,…,0k)的一个估计量，如果对任意 的e>0和01，·，0的一切可能值都有 limP91,…,k(T(X1,·,Xn)-g(0,…,0k川≥e)=0 n→0 我们则称T(X1,·,Xn)为g(01,·,0k)的一个（弱）相合估计量(Consistent Estimator). 相合性是对一个估计量的最基本的要求，如果一个估计量没有相合性，那么无论 样本大小多大，我们也不能把未知参数估计到任意预定的精度。这种估计量显然是不 可取的。 矩估计量是满足相合性的，极大似然估计量在很一般的条件下也是满足相合性 的。 估计量是样本X1,·,X的函数，其确切的分布一般不是容易得到。但是，许多 形式很复杂的统计量（未必是和），当很大时，其分布都渐近于正态分布，这个性质称 为统计量的“渐近正态性”。 无偏性和有效性都是对固定的样本大小而言的，这种性质称为估计量的“小样本 性质”，而相合性和渐近正态性都是考虑在样本大小趋于无穷时的性质，这种性质称为 “大样本性质”。 例6.6.设从总体 0 1 2 3 P 0/2030/21-306 18Ÿ ÎÍO gˆ(X1, · · · , Xn)èñÎͺÍg(θ)òáO˛ße Egˆ(X1, · · · , Xn) = g(θ) K°gˆ(X1, · · · , Xn)èg(θ)ÆO˛(Unbiased Estimator)"Æ5¥ÈòáO˛ Ńá¶"Æ5U ûÿX⁄ÿßœd3kıáO˛å¯¿Jûß·Ç `kƒÃ†O˛" 2. k5(Efficiency) gˆ1(X1, · · · , Xn)⁄gˆ2(X1, · · · , Xn)èñÎͺÍg(θ)¸áÿ”ÆO˛ß eÈ?øθ ∈ Θ,k V ar(ˆg1(X1, · · · , Xn)) ≤ V ar(ˆg2(X1, · · · , Xn)) ÖñÈ,áθ0 ∈ Θ¶ÓÇÿ™§·"K°gˆ1gˆ2k" 3. É‹5⁄ÏC5 ½¬ 6.1.3. oN©Ÿù6uÎÍθ1, · · · , θk, g(θ1, · · · , θk)¥ñÎͺÍ"X1, · · · , Xnè gToN•ƒßT(X1, · · · , Xn)èg(θ1, · · · , θk)òáO˛ßXJÈ?ø  > 0⁄θ1, · · · , θkòÉåUä—k limn→∞ Pθ1,··· ,θk (|T(X1, · · · , Xn) − g(θ1, · · · , θk)| ≥ ) = 0 ·ÇK°T(X1, · · · , Xn)èg(θ1, · · · , θk)òá(f)É‹O˛(Consistent Estimator)" É‹5¥ÈòáO˛Ńá¶ßXJòáO˛vkÉ‹5ß@oÃÿ åıåß·ÇèÿUrôÎÍO?ø˝½°›"˘´O˛w,¥ÿ å" ›O˛¥˜vÉ‹5ß4åq,O˛3ÈòÑ^áe襘vÉ‹5 " O˛¥X1, · · · , XnºÍߟ(É©ŸòÑÿ¥N¥"¥ßNı /™ÈE,⁄O˛(ô7¥⁄)ßnÈåûߟ©Ÿ—ÏCu©Ÿß˘á5ü° è⁄O˛/ÏC50" Æ5⁄k5—¥È½ån Ûߢ´5ü°èO˛/ 5ü0ß É‹5⁄ÏC5—¥ƒ3å™uðû5üߢ´5ü°è /å5ü0" ~6.6. loN X 0 1 2 3 P θ/2 θ 3θ/2 1 − 3θ